Restrizione prodotto scalare
Salve
ho risolto questo piccolo esercizio ma non sono sicuro se ho dato la soluzione corretta
l esercizio chiede di individuare la segnatura del prodotto scalare rappresentato dalla matrice A su un sottospazio di dimensione 2 tale che la somma degli indici di tale segnatura sia 2
la matrice in questione è $A$ $=$ $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$
io ho trovato solamente sottospazi che hanno segnatura (2,0,0) (1,1,0) ma non so se ve ne siano altri (secondo me no..) un parere?
ho risolto questo piccolo esercizio ma non sono sicuro se ho dato la soluzione corretta
l esercizio chiede di individuare la segnatura del prodotto scalare rappresentato dalla matrice A su un sottospazio di dimensione 2 tale che la somma degli indici di tale segnatura sia 2
la matrice in questione è $A$ $=$ $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$
io ho trovato solamente sottospazi che hanno segnatura (2,0,0) (1,1,0) ma non so se ve ne siano altri (secondo me no..) un parere?
Risposte
se la matrice è quella prendi il sottospazio generato da $(1,0,0) $ e $(0,1,0)$. lì la restrizione del prodotto scalare è l'identità quindi la somma degli indici è 2 e la segnatura è $(1,1)$
no mi sa che mi sono spiegato male io... cerco sottospazi in cui la somma degli indici della segnatura sia 2 io ho trovato solo sottospazi con segnatura (2,0,0) e (1,1,0) e mi domandavo se esistevano (cosa che sospetto sia falsa) sottospazi a segnatura che ne so (0,0,2) o altre possibili combinazioni
La matrice che hai è già diagonalizzata: ti dice che la segnatura del prodotto scalare è (2,1,0). Ogni volta che restringi questo prodotto ad un sottospazio, tali indici (quelli della segnatura) possono soltanto eventualmente abbassarsi, certo non aumentare... quindi hai risolto.
grazie sei stato molto chiaro! (OT fan anche tu dei Pink Floyd?)
Ripensandoci, ti ho detto una cavolata...! Non e' vero che gli indici della segnatura si abbassano quando restringi il prodotto scalare su un sottospazio. O meglio, questo e' vero soltanto per i primi due indici. Ti spiego perche'.
Il primo (il secondo) indice della segnatura ti dice qual e' la massima dimensione di un sottospazio definito positivo (negativo), quindi restringendoti non puo' certo aumentare.
Questo fatto pero' non e' vero per l'ultimo indice. Ad esempio e' possibile trovare un sottospazio sopra il quale il prodotto sia degenere senza che quest'ultimo lo sia sopra tutto lo spazio.
Adesso veniamo al tuo esercizio. Le candidate segnature sono (1,1,0) (e c'e'), (2,0,0) (e c'e'), poi (1,0,1) , (0,1,1) e (0,0,2).
Ora, l'ultima possiamo escluderla perche' se ci fosse un piano su cui il prodotto e' degenere, il prodotto sarebbe degenere anche su tutto lo spazio (cosa che non e').
C'e' (contrariamente a quanto ti dicevo nel post di prima) un piano (anzi due) su cui il prodotto ha segnatura (1,0,1): prova a prendere il piano generato da e1 e da e2 +/- e3.
Mentre invece non puo' esserci un piano con segnatura (0,1,1), altrimenti non esisterebbe un piano dove il prodotto e' definito positivo.
Spero di essere stato chiaro. (comunque si', fan dei Pink Floyd. si nota, eh?)
Il primo (il secondo) indice della segnatura ti dice qual e' la massima dimensione di un sottospazio definito positivo (negativo), quindi restringendoti non puo' certo aumentare.
Questo fatto pero' non e' vero per l'ultimo indice. Ad esempio e' possibile trovare un sottospazio sopra il quale il prodotto sia degenere senza che quest'ultimo lo sia sopra tutto lo spazio.
Adesso veniamo al tuo esercizio. Le candidate segnature sono (1,1,0) (e c'e'), (2,0,0) (e c'e'), poi (1,0,1) , (0,1,1) e (0,0,2).
Ora, l'ultima possiamo escluderla perche' se ci fosse un piano su cui il prodotto e' degenere, il prodotto sarebbe degenere anche su tutto lo spazio (cosa che non e').
C'e' (contrariamente a quanto ti dicevo nel post di prima) un piano (anzi due) su cui il prodotto ha segnatura (1,0,1): prova a prendere il piano generato da e1 e da e2 +/- e3.
Mentre invece non puo' esserci un piano con segnatura (0,1,1), altrimenti non esisterebbe un piano dove il prodotto e' definito positivo.
Spero di essere stato chiaro. (comunque si', fan dei Pink Floyd. si nota, eh?)
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