Relazioni di uguaglianza e ortogonalita' tra coppie di ssv

[stifanirox]

ciao a tutti sono nuovo qui.

non so se è già stato chiesto, su quest'argomento.
Volevo dimostrare le due relazioni che valgono per coppie di ssv in uno sv.
Dati $U,V$ ssv di $W$, allora valgono:

$(U+V)^{\bot}=U^{\bot}\capV^{\bot}$
$(U\capV)^{\bot}=U^{\bot}\+V^{\bot}$

che corrispondono alle leggi di demorgan per gli insiemi (in cui l'operatore $+$ corrisponde a $\cup$)

volevo chiedere se qualcuno riusciva a darmi un suggerimento per una dimostrazione, anche solo della prima uguaglianza (poichè per la seconda il discorso dovrebbe essere analogo).

Sono partito col dire che sicuramente vale
$U^\bot\capU=\mathbb{0}$ con 0 vettore nullo
Quindi definisco X variabile ausiliaria t.c.
$X\capX^\bot=\mathbb{0}$
$X=(U+V)^\bot$
ovvero
$((U+V)^\bot)\cap((U+V)^\bot)^\bot=0$
$(U+V)^\bot\cap(U+V)=0$
(non sono sicuro che fin qui sia giusto, poichè sto cercando di addattare una dimostrazione della legge di demorgan (fatta con gli operatori logici), a questo caso... quindi se finora ho scritto cazzate, ditelo pure )

cmq
riprendendo l'ugualianza iniziale, aggiundo a destra e a sinistra $\cap(U+V)$ in modo da ottenere
$[(U+V)^\bot]\cap(U+V)=[U^\bot\capV^\bot]\cap(U+V)$
ovvero senza le parentesi agguntive
$(U+V)^\bot\cap(U+V)=U^\bot\capV^\bot\cap(U+V)$
in cui la prima quantita è 0 (come definito dalla variabile ausiliaria) e l'equazione diventa
$0=U^\bot\capV^\bot\cap(U+V)$

ora come si continua per dimostrare che anche la quantità a destra è $0$ ?
e il procedimento inverso? cioè come si arriva a queste 2 uguaglianze ?

grazie in anticipo.

[menale1]

IO ti consiglierei di ragionare in termini di doppia implicazione. Prendi un elemento che sta nel primo insieme e dimostra che sta nel secondo.