Relazione di equivalenza fra atlanti
img Per quanto riguarda la transitività al secondo punto: dato \(f_{1},E_{1}\in \mathcal{A}_{1}\) allora \(f_{1},E_{1}\) rispetta la proprietà \(2\) img con gli elementi di \(\mathcal{A}_{2}\). Lo stesso vale per \(f_{3},E_{3}\in \mathcal{A}_{3}\). Se grazie a ciò riusciamo a mostrare che per queste due carte vale la proprietà \(2\) allora abbiamo mostrato la proprietà \(2\) per \(\mathcal{A}_{1}\) e \(\mathcal{A}_{3}\).
Dato \(y \in f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) allora \(x=f_{1}^{-1}y\in E_{1}\cap E_{3}\). Siccome \(x \in E_{3}\subset \cup_{\alpha}E_{\alpha}=M\) allora \(x \in E_{\alpha}\) per un qualche \(\alpha\). Se fosse possibile trovare un indice \(\alpha\) tale che \(E_{1}\cap E_{\alpha}\subset E_{1}\cap E_{3}\) allora \(x \in f_{1}(E_{1}\cap E_{\alpha})\subset f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) e quindi l'ultimo insieme sarebbe aperto. Qualche idea per mostrare che è effettivamente aperto?
Dato \(y \in f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) allora \(x=f_{1}^{-1}y\in E_{1}\cap E_{3}\). Siccome \(x \in E_{3}\subset \cup_{\alpha}E_{\alpha}=M\) allora \(x \in E_{\alpha}\) per un qualche \(\alpha\). Se fosse possibile trovare un indice \(\alpha\) tale che \(E_{1}\cap E_{\alpha}\subset E_{1}\cap E_{3}\) allora \(x \in f_{1}(E_{1}\cap E_{\alpha})\subset f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) e quindi l'ultimo insieme sarebbe aperto. Qualche idea per mostrare che è effettivamente aperto?
Risposte
Secondo me, se ti scrivi le carte come $(U_{\alpha_j},f_{\alpha_j})\in\mathcal{A}_j$ e ti scrivi le condizioni di compatibilità tra l'atlante 1 e 2 e tra l'atlante 2 e 3, diventa immediato capire che c'è compatibilità tra l'atlante 1 e 3, a causa della composizione delle mappe (vedi il punto iii) della definizione che hai postato) senza perdere tutto sto tempo, non trovi?
Grazie ciampax. Adesso lo faccio.
Vedo solo un mucchio di indici ma non perché segue il punto \(2\) ovvero l'apertura di \(f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{3}})\) e \(f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{3}}\cap E_{\alpha_{1}})\) dal punto \(3\) ovvero l'omeomorfismo di
\begin{split}
f_{\alpha_{1}}\circ f_{\alpha_{2}}^{-1}:f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}}) \\
f_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{1}}^{-1}:f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})
\end{split}
ricordando che le due precedenti valgono anche con \(2,3\) al posto di \(1,2\)
\begin{split}
f_{\alpha_{1}}\circ f_{\alpha_{2}}^{-1}:f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}}) \\
f_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{1}}^{-1}:f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})
\end{split}
ricordando che le due precedenti valgono anche con \(2,3\) al posto di \(1,2\)
Hai scritto male gli indici: devono venirti fuori queste due funzioni $f_{\alpha_1}\circ f_{\alpha_2}^{-1}$ e $f_{\alpha_2}\circ f_{\alpha_3}^{-1}$ e poi componendole...
Si, ho scritto solamente gli indici relativi ai primi due atlanti. Se considero gli indici che hai detto tu, ho:
\begin{split}
f_{\alpha_{1}}\circ f_{\alpha_{2}}^{-1}:f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}}) \\
f_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{3}}^{-1}:f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{3}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{3}}\cap E_{\alpha_{2}})
\end{split}
Per comporle però ho bisogno di insiemi di definizione comuni. Se considero la prima, ho (abbreviando gli indici rispetto alle intersezioni) \(E_{\alpha_{123}}\subset E_{\alpha_{12}}\) quindi \(f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{12}})\). Dato \(y \in f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{12}})\) esiste \(x=f^{-1}_{\alpha_{2}}\in E_{\alpha_{123}}\) e quindi \(f_{\alpha_{1}}(x)\in f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{12}})\), quindi l'applicazione è ben definita.
Componendo \(f_{\alpha_{1}}\circ f^{-1}_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{2}}\circ f^{-1}_{\alpha_{3}}:f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{123}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{123}})\) che se non sbaglio si può scrivere come \(f_{\alpha_{1}}\circ f^{-1}_{\alpha_{3}}\) ottengo un omeomorfismo fra i domini perché l'unica cosa che ho fatto è stata ritagliare domini e comporre omeomorfismi. Devo usare \(f_{\alpha_{3}}(E_{13})=\cup_{\alpha_{2}} f_{\alpha_{3}}(E_{123})\) o qualcosa di simile?
\begin{split}
f_{\alpha_{1}}\circ f_{\alpha_{2}}^{-1}:f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{2}}) \\
f_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{3}}^{-1}:f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{3}}\cap E_{\alpha_{2}})\rightarrow f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{3}}\cap E_{\alpha_{2}})
\end{split}
Per comporle però ho bisogno di insiemi di definizione comuni. Se considero la prima, ho (abbreviando gli indici rispetto alle intersezioni) \(E_{\alpha_{123}}\subset E_{\alpha_{12}}\) quindi \(f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{12}})\). Dato \(y \in f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{2}}(E_{\alpha_{12}})\) esiste \(x=f^{-1}_{\alpha_{2}}\in E_{\alpha_{123}}\) e quindi \(f_{\alpha_{1}}(x)\in f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{123}})\subset f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{12}})\), quindi l'applicazione è ben definita.
Componendo \(f_{\alpha_{1}}\circ f^{-1}_{\alpha_{2}}\circ f_{\alpha_{2}}\circ f^{-1}_{\alpha_{3}}:f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{123}})\rightarrow f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{123}})\) che se non sbaglio si può scrivere come \(f_{\alpha_{1}}\circ f^{-1}_{\alpha_{3}}\) ottengo un omeomorfismo fra i domini perché l'unica cosa che ho fatto è stata ritagliare domini e comporre omeomorfismi. Devo usare \(f_{\alpha_{3}}(E_{13})=\cup_{\alpha_{2}} f_{\alpha_{3}}(E_{123})\) o qualcosa di simile?
Sì, va bene anche così. Il senso è che, quando prendi le varie carte, puoi sempre restringere le funzioni definenti alle parti comuni dei vari aperti, per cui a meno di non dover restringere una, due, tre ecc volte, alla fine ottieni quello che ti serve.
Però non ho ancora completato il punto. Anche usando l'unione e ricavando un omeomorfismo fra \(f_{\alpha_{1}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{3}})\) e \(f_{\alpha_{3}}(E_{\alpha_{1}}\cap E_{\alpha_{3}})\), dovrei almeno mostrare che uno dei due è aperto, no?
Ehm.... sai se intersechi aperti.... e considerando che le mappe sono omeomorfismi...
Boh non ti seguo, si tratta di una parte di teoria omessa dal libro e ci sto mettendo un sacco perché è lasciata per esercizio.
Gli $E$ sono aperti: intersezione di aperti e aperta.
Le $f$ sono omeomorfismi: se $E$ è un aperto allora pure $f(E)$ lo è.
Le basi di topologia non è che si possono lasciare andare a zonzo!
Le $f$ sono omeomorfismi: se $E$ è un aperto allora pure $f(E)$ lo è.
Le basi di topologia non è che si possono lasciare andare a zonzo!
Quelle cose le so. Non ho informazioni sulla topologia di \(M\). E' un semplice insieme, la topologia che ha per base gli insiemi su cui sono definite le carte viene introdotta dopo.
Ehm, mi sa che ti sei perso una cosa fondamentale nella definizione di Atlanti: essi si definiscono sugli aperti, non puoi definirli su insiemi a casaccio. Riguarda la definizione di carta locale e anche quella che hai inserito.
Ah, ho capito che tipo di definizione usa. Vabbé, ma allora in realtà è più semplice: quello che hai è che, comunque, quando fai $f_\alpha(X)$ con $X$ una qualsiasi intersezioni di sottoinsiemi $E_\alpha$ viene fuori un aperto, questo per come hai definito le carte. Non hai bisogno di altro.
Mi puoi scrivere chiaramente cosa intendi? Io ci ho perso troppo tempo e non riesco a risolverlo.
Trovato. Un diffeomorfismo è prima di tutto una biezione fra aperti di \(\mathbb{R}^{n}\). Ergo il secondo punto è ridondante in quanto contenuto nel terzo. Io consideravo il diffeomorfismo semplicemente come un omeomorfismo, che può esistere anche fra un aperto ed un chiuso o fra chiusi.
Dovresti dare nuovamente un'occhiata alla definizione di omeomorfismo. Un omeomorfismo è una funziona continua con inversa continua. Dovrà quindi in particolare rispettare la seguente definizione di funzione continua:
Siccome anche la funzione inversa è continua vale quindi il seguente. Un omeomorfismo manda ogni aperto in un aperto dell'immagine e, viceversa, ogni aperto dell'immagine ha una controimmagine aperta nel dominio. Quello che davvero cambia tra un omeomorfismo e un diffeomorfismo è che le mappe non sono solo continue, ma differenziabili.
Una funzione \(f \colon X \to Y\) tra spazi topologici è continua se per ogni aperto \(A \subseteq Y,\) \( f^{-1}(A) \) è un aperto di \(X.\)
Siccome anche la funzione inversa è continua vale quindi il seguente. Un omeomorfismo manda ogni aperto in un aperto dell'immagine e, viceversa, ogni aperto dell'immagine ha una controimmagine aperta nel dominio. Quello che davvero cambia tra un omeomorfismo e un diffeomorfismo è che le mappe non sono solo continue, ma differenziabili.
Le definizioni le conosco, ma se non mi date indizi su dove le devo applicare, non concludo nulla. Cosa ho scritto di sbagliato nel post precedente?
Non ho letto l'intera discussione percui non ti so dire se è corretto quello che hai scritto. Il mio commento era però una risposta a questo
Non è questa la differenza tra diffeomorfismo e omeomorfismo ed entrambi rispettano la proprietà di cui ho parlato prima. Siccome stiamo parlando di atlanti comunque, le carte e le immagini di queste in \(\mathbb R^n\) sono normalmente insiemi aperti e ho l'impressione non ci sia nulla da dimostrare.. Ma non ho guardato esattamente la definizione usata nel tuo caso.
Io consideravo il diffeomorfismo semplicemente come un omeomorfismo, che può esistere anche fra un aperto ed un chiuso o fra chiusi.
Non è questa la differenza tra diffeomorfismo e omeomorfismo ed entrambi rispettano la proprietà di cui ho parlato prima. Siccome stiamo parlando di atlanti comunque, le carte e le immagini di queste in \(\mathbb R^n\) sono normalmente insiemi aperti e ho l'impressione non ci sia nulla da dimostrare.. Ma non ho guardato esattamente la definizione usata nel tuo caso.
Ok, intendevo dire che nella dimostrazione non consideravo le proprietà di differenziabilità * delle applicazioni, ma solo le loro proprietà di continuità. Ovvero, riassumendo: fra le proprietà che valgono in un atlante ci sono:
\begin{split}
\mbox{ii)}&f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \mbox{ aperto } \forall \alpha,\beta \\
\mbox{iii)}&f_{\alpha}\circ f_{\beta}^{-1}:f_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\rightarrow f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \mbox{ diffeo. } \forall \alpha,\beta
\end{split}
Si considera quindi aperti su \(\mathbb{R}^{n}\) e diffeomorfismi su \(\mathbb{R}^{n}\). Ora, siccome un diffeomorfismo su tale insieme è definito su aperti [*], dal terzo punto dovrebbe seguire immediatamente il secondo, che sembra così una condizione ridondante. Se in \(\mbox{ii}\) avessimo avuto un omeomorfismo e basta, non avrei avuto alcuna garanzia che ad esempio \(f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\) fosse aperto in \(\mathbb{R}^{n}\), poiché possono esistere omeomorfismi anche fra chiusi ed aperti, in questo senso link. E' corretto?
\begin{split}
\mbox{ii)}&f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \mbox{ aperto } \forall \alpha,\beta \\
\mbox{iii)}&f_{\alpha}\circ f_{\beta}^{-1}:f_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\rightarrow f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \mbox{ diffeo. } \forall \alpha,\beta
\end{split}
Si considera quindi aperti su \(\mathbb{R}^{n}\) e diffeomorfismi su \(\mathbb{R}^{n}\). Ora, siccome un diffeomorfismo su tale insieme è definito su aperti [*], dal terzo punto dovrebbe seguire immediatamente il secondo, che sembra così una condizione ridondante. Se in \(\mbox{ii}\) avessimo avuto un omeomorfismo e basta, non avrei avuto alcuna garanzia che ad esempio \(f_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\) fosse aperto in \(\mathbb{R}^{n}\), poiché possono esistere omeomorfismi anche fra chiusi ed aperti, in questo senso link. E' corretto?
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