Relazione di equivalenza fra atlanti
img Per quanto riguarda la transitività al secondo punto: dato \(f_{1},E_{1}\in \mathcal{A}_{1}\) allora \(f_{1},E_{1}\) rispetta la proprietà \(2\) img con gli elementi di \(\mathcal{A}_{2}\). Lo stesso vale per \(f_{3},E_{3}\in \mathcal{A}_{3}\). Se grazie a ciò riusciamo a mostrare che per queste due carte vale la proprietà \(2\) allora abbiamo mostrato la proprietà \(2\) per \(\mathcal{A}_{1}\) e \(\mathcal{A}_{3}\).
Dato \(y \in f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) allora \(x=f_{1}^{-1}y\in E_{1}\cap E_{3}\). Siccome \(x \in E_{3}\subset \cup_{\alpha}E_{\alpha}=M\) allora \(x \in E_{\alpha}\) per un qualche \(\alpha\). Se fosse possibile trovare un indice \(\alpha\) tale che \(E_{1}\cap E_{\alpha}\subset E_{1}\cap E_{3}\) allora \(x \in f_{1}(E_{1}\cap E_{\alpha})\subset f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) e quindi l'ultimo insieme sarebbe aperto. Qualche idea per mostrare che è effettivamente aperto?
Dato \(y \in f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) allora \(x=f_{1}^{-1}y\in E_{1}\cap E_{3}\). Siccome \(x \in E_{3}\subset \cup_{\alpha}E_{\alpha}=M\) allora \(x \in E_{\alpha}\) per un qualche \(\alpha\). Se fosse possibile trovare un indice \(\alpha\) tale che \(E_{1}\cap E_{\alpha}\subset E_{1}\cap E_{3}\) allora \(x \in f_{1}(E_{1}\cap E_{\alpha})\subset f_{1}(E_{1}\cap E_{3})\) e quindi l'ultimo insieme sarebbe aperto. Qualche idea per mostrare che è effettivamente aperto?
Risposte
Più che altro il secondo punto deriva dal fatto che normalmente si definiscono gli insiemi \( U_\alpha \) e \( U_\beta \) come aperti per cui la loro intersezione è ovviamente aperta e quindi anche la sua immagine attraverso un omeomorfismo. Mi sembrerebbe insomma in effetti una condizione inutile, ma sono anni che non riguardo queste definizioni e forse l'autore del libro usa definizioni diverse dalle mie.
Si, il libro definisce le carte su insiemi arbitrari e poi mostra che è possibile costruire a partire da questi una topologia, che in alcuni casi coincide con quella già definita nella varietà. Grazie apatriarca.
Non ci riesco, neanche con il punto \(\mbox{iii}\): devo mostrare che se \(f_{\alpha},E_{\alpha}\in \mathcal{A}_{1}\) e \(f_{\gamma},E_{\gamma}\in \mathcal{A}_{3}\) e \(\mathcal{A}_{2}\sim \mathcal{A}_{1, 3}\) allora vale \(\mbox{iii}\) fra le due carte. Usando definizioni standard è facile: \(p \in E_{\alpha}\cap E_{\gamma}\) e \(p \in E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma}\) (scelgo un \(E_{\beta}\) di \(\mathcal{A}_{2}\)) è un aperto quindi \(f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma})\) aperto su cui \((f_{\gamma}\circ f_{\beta}^{-1})\circ (f_{\beta}\circ f_{\alpha}^{-1})=f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) è diffeomorfa.
La parte sopra dice che per ogni \(p \in E_{\alpha}\cap E_{\gamma}\) posso trovare \(\beta\) che mi da un aperto di \(p\) t.c. \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) su tale aperto è un diffeomorfismo. Quindi sono a posto. Nel mio caso la dimostrazione non funziona perché \(f_{\alpha}:E_{\alpha}\rightarrow f_{\alpha}(E_{\alpha})\) è una semplice biiezione su un aperto \(f_{\alpha}(E_{\alpha})\) ed \(M\) non è una varietà ma un semplice insieme.
Perché \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) sia diffeomorfa su \(p\) ho bisogno di trovare una aperto \(U\) t.c. \(p \in U \subset f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma})\) ed essendo \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) definita su \(f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma})\) lo è anche su \(U\).
La parte sopra dice che per ogni \(p \in E_{\alpha}\cap E_{\gamma}\) posso trovare \(\beta\) che mi da un aperto di \(p\) t.c. \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) su tale aperto è un diffeomorfismo. Quindi sono a posto. Nel mio caso la dimostrazione non funziona perché \(f_{\alpha}:E_{\alpha}\rightarrow f_{\alpha}(E_{\alpha})\) è una semplice biiezione su un aperto \(f_{\alpha}(E_{\alpha})\) ed \(M\) non è una varietà ma un semplice insieme.
Perché \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) sia diffeomorfa su \(p\) ho bisogno di trovare una aperto \(U\) t.c. \(p \in U \subset f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma})\) ed essendo \(f_{\gamma}\circ f^{-1}_{\alpha}\) definita su \(f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\beta}\cap E_{\gamma})\) lo è anche su \(U\).
Siccome il thread è primo doubleposto: credo di avere risolto.
\[
\begin{split}
f_{\beta}\circ f_{\alpha}^{-1}:f_{\alpha}(E_{\alpha \beta \gamma})
\rightarrow &f_{\beta}(E_{\alpha \beta\gamma}) \\
=&f_{\beta}(E_{\alpha\beta \beta\gamma}) \\
=&f_{\beta}(E_{\alpha \beta})\cap f_{\beta}(E_{\beta\gamma}) \\
\end{split}
\]
Essendo gli ultimi due aperti è aperto anche il primo. L'unione al variare di \(\beta\) del primo da \(f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\gamma})\). In questo modo sia \(\mbox{ii}\) che \(\mbox{iii}\) sono dimostrate. Qualcuno mi può confermare?
\[
\begin{split}
f_{\beta}\circ f_{\alpha}^{-1}:f_{\alpha}(E_{\alpha \beta \gamma})
\rightarrow &f_{\beta}(E_{\alpha \beta\gamma}) \\
=&f_{\beta}(E_{\alpha\beta \beta\gamma}) \\
=&f_{\beta}(E_{\alpha \beta})\cap f_{\beta}(E_{\beta\gamma}) \\
\end{split}
\]
Essendo gli ultimi due aperti è aperto anche il primo. L'unione al variare di \(\beta\) del primo da \(f_{\alpha}(E_{\alpha}\cap E_{\gamma})\). In questo modo sia \(\mbox{ii}\) che \(\mbox{iii}\) sono dimostrate. Qualcuno mi può confermare?
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