Re: Teorema Della Permanenza Del Segno Per Limiti Di Funzioni Definite Tra Spazi Topologici

[mklplo751]

Salve, dopo queste vacanze (auguri di buon anno), ho ripreso a cercare di dimostrare le generalizzazioni che ho provato a trarre da i teoremi base dei limiti. Ora su questa dimostrazione ho ancora più dubbi della precedente e il teorema che ho provato a generalizzare (sperando senza fare errori) è il teorema di permanenza del segno. In breve ciò che ho provato a dimostrare è questo:
"Sia $f:(X,\tau_1)->(Y, \tau_2)$ una funzione tra spazi topologici. Sia $(Y,\tau_2)$ uno spazio di Hausdorff su cui è definito un ordine totale(parziale). Sia $x_0$ un punto di accumulazione per $(X, \tau_1)$ e siano $l_1,l_2$ due elementi di $Y$, tali che $l_1>l_2$ ($l_1\geq l_2$). Sia $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$, allora esiste almeno un intorno di $V_(x_0)$ tale che $AA x \in V_(x_0) f(x)>l_2$ ($AA x \in V_(x_0) f(x)\geq l_2$)."
Ecco come ho provato a dimostrare:

Per ipotesi $AA U_(l_1) EE V_(x_0): f(V_(x_0) \cap X - {x_0}) \subseteq U_(l_1), AA x \in V_(x_0) \cap X - {x_0}$
Prendiamo $A={y \in Y:y>l_2}$ ($A={y \in Y:y\geq l_2}$) che è un intorno di $l_1$, allora esiste un intorno $B_(x_0)$ tale che $ f(B_(x_0) \cap X - {x_0}) \subseteq U_(l_1), AA x \in B_(x_0) \cap X - {x_0}$ da cui segue la tesi.

[mklplo751]

Ok, grazie per l'aiuto, d'ora in poi cercherò di fare più attenzione agli scopi prima di generalizzare e soprattutto cercherò di non partire dal massimo della generalità.

[j18eos]

Infatti, il problema non è tanto il voler generalizzare, ma come generalizzare con quale scopo.

Non ti sentire in colpa però, eh!