Rappresentazione cartesiana U+W

[lex1531]

$ U = f(x; y; z; t) in R^4 : 3x + y - z = 0; y + t = 0;
W = f(x; y; z; t) in R^4 : x - z - t = 0; x + z + t = 0: $

a) Determinare la dimensione e una base di U + W.
b) Determinare una rappresentazione cartesiana di U + W.
c) Stabilire per quali valori del parametro reale h il vettore (0; 1; 1; h) appartiene a $ U nn W $

per il primo punto nessuno problema:

metto a sistema e mi ricavo la dimenzione di U: (x,-t,-t+3x,t) quindi una base di U è (1,0,3,0) (0,-1,-1,1)
per W stessa operazione: (0,y,z,-z) quindi una base di W è (0,1,0,0) (0,0,1,-1)
costruisco la matrici con le due basi per calcolare la Dim(U+W): dim(3) con base (1,0,3,0) (0,1,0,0) (0,0,1,-1)
dovrebbe essere tutto giusto

per il punto b non so come procedere!

per il punto c, l'unica cosa a cui sono arrivato è che sfruttando: dim(U)+dim(W)=dim(U+W) + dim($ U nn W $) so che la dim($ U nn W $) =1

[legendre]

Per il secondo punto osserva che :$U+V=L(u_1,u_2,w_1,w_2)$ con $u_1,u_2 in U$ e $w_1,w_2 in W$ sempre se quelli che hai trovato sono i vettori giusti.Ti trovi cosi' la dimensione facendo il determinante dei vettori $u_1,u_2,w_1,w_2$ messi in riga
per il terzo punto trovati il sistema $UnnW$ e vedi se il vettore $(0; 1; 1; h)$ soddisfa il sistema $UnnW$

[lex1531]

"legendre":Per il secondo punto osserva che :$U+V=L(u_1,u_2,w_1,w_2)$ con $u_1,u_2 in U$ e $w_1,w_2 in W$ sempre se quelli che hai trovato sono i vettori giusti.Ti trovi cosi' la dimensione facendo il determinante dei vettori $u_1,u_2,w_1,w_2$ messi in riga
per il terzo punto trovati il sistema $UnnW$ e vedi se il vettore $(0; 1; 1; h)$ soddisfa il sistema $UnnW$

però a me servirebbe sapere come si trova la rappresentazione cartesiana di U+W

per il terzo ho fatto come dici tu e funziona!

o messo a sitema e mi viene: x=0, y=-t, z=-t,
quindi il vettore generico di U+W è (0,-t,-t,t) che infatti ha dimenzione 1
quindi per essere (0,1,1,h) appartente a U+W deve essere h=-1

[legendre]

Infatti una volta saputo dal determinate la dimensione e quindi quali e quanti vettori sono linearmente indipendenti puoi farne la rappresentazione.se tutti e 4
sono indipendenti allora la dimensione e' tutto $R^4$

[lex1531]

sei stato gentilissimo a rispondere ma ora che ho la dimenzione e una base di U+W, come faccio a determinare una rappresentazione cartesiana???

[legendre]

Per crearti un sottospazio un generico vettore $v=(x,y,z,t) in U+W$ e quindi $v=x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3$ ove $ u_1,u_2,u_3 in U+W$.Dal sistema ti elimini poi $x_1,x_2,x_3$

[lex1531]

"legendre":Per crearti un sottospazio un generico vettore $v=(a,b,c,d) in U+W$ e quindi $v=x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3$ ove $ u_1,u_2,u_3 in U+W$.Dal sistema ti elimini poi $a,b,c$

io lo so che sto mettendo a dura prova lòa tua pazienza
ma non è che potresti farmi un esempio numerico ... scusami ma questo concetto proprio non mi entra in testa

[legendre]

$(x,y,z,t)=x_1(1,0,3,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,01,1)$ sempre se quelli che hai trovato sono i 3 vettori di U+W.da cui
${(x=x_1),(y=x_2),(z=3x_1+x_3),(t=-x_3):}$.Cerca di eliminarti $x_1,x_2,x_3$
Mi e' venuto scritto piccolo,non so che cosa ho premuto

[lex1531]

"legendre":$(x,y,z,t)=x_1(1,0,3,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,01,1)$ sempre se quelli che hai trovato sono i 3 vettori di U+W.da cui
${(x=x_1),(y=x_2),(z=3x_1+x_3),(t=-x_3):}$.Cerca di eliminarti $x_1,x_2,x_3$
Mi e' venuto scritto piccolo,non so che cosa ho premuto

3x-z-t=0

evvai mi trovo!

perfetto, grazie mille!