Rappresentazione cartesiana e basi sottospazi.
salve ragazzi, ho un problema con un esercizio, in pratica dopo avermi chiesto la dimensione e una base dei due sottospazi U e W, mi chiede di trovare una rappresentazione cartesiana della somma, e una base dell'intersezione.
Il problema è che non ho capito il metodo per trovare la rappresentazione cartesiana e la base di somma e intersezione, mentre sono capace di trovarle per i sottospazi singoli.
Ecco il testo dell'esercizio:
$U = {(x,y,z,t) ∈ R4 : x+y−2z−t = 0, y−z−t = 0, x − z = 0}$,
$W = L((−1, 0, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)).$
b) Determinare una rappresentazione cartesiana del sottospazio U+W. RISPOSTA:$x−2y+z+2t=0$.
c) Determinare la dimensione e una base di U ∩ W. RISPOSTA: dim(U ∩W) = 1, una base di U∩W è, ad esempio, $[(0, 1, 0, 1)]$.
Se qualcuno mi illumina ne sarei veramente felice.
Il problema è che non ho capito il metodo per trovare la rappresentazione cartesiana e la base di somma e intersezione, mentre sono capace di trovarle per i sottospazi singoli.
Ecco il testo dell'esercizio:
$U = {(x,y,z,t) ∈ R4 : x+y−2z−t = 0, y−z−t = 0, x − z = 0}$,
$W = L((−1, 0, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)).$
b) Determinare una rappresentazione cartesiana del sottospazio U+W. RISPOSTA:$x−2y+z+2t=0$.
c) Determinare la dimensione e una base di U ∩ W. RISPOSTA: dim(U ∩W) = 1, una base di U∩W è, ad esempio, $[(0, 1, 0, 1)]$.
Se qualcuno mi illumina ne sarei veramente felice.
Risposte
Allora, io farei cosi:
Innanzitutto espliceterei il sottospazio $U$, risolvendo quel sistema lineare, ed espliciterei il sottospazio $W$, che, stando a quanto leggo, dovrebbe essere l'immagine di un'applicazione lineare definita da $RR^4$ a $RR^2$. Per quanto riguarda $W$, sai che l'immagine di un'applicazione lineare è data dallo span delle colonne della matrice associata, quindi è facile ricavare quali sono i generatori, ed eventualmente, una base di $W$.
Ora che sai quali sono i generatori dei due sottospazi, li metti insieme in una matrice che ridurrai a gradini e di cui ne calcolerai il rango: in questo modo troverai una base dello spazio somma.
Una volta che sai la base dello spazio somma, per determinare le equazioni cartesiane, scrivi prima quelle parametriche, che si determinano facilmente scrivendo per esteso lo span di $U+W$ e associando a ogni coordinata un'incognita (cioè poni la prima coordinata dei generici vettori dello span uguale a $x$, la seconda a $y$ e così via). Una volta che hai a disposizione delle equazioni parametriche del sottospazio somma, per trovare quelle cartesiane risolvi il sistema lineare di prima eliminando i parametri liberi: in questo modo otterrai una relazione tra le coordinate dei vettori, e dunque un'equazione cartesiana.
Per ora mi fermo qui, ti ho dato gli input fondamentali. Ciao.
Innanzitutto espliceterei il sottospazio $U$, risolvendo quel sistema lineare, ed espliciterei il sottospazio $W$, che, stando a quanto leggo, dovrebbe essere l'immagine di un'applicazione lineare definita da $RR^4$ a $RR^2$. Per quanto riguarda $W$, sai che l'immagine di un'applicazione lineare è data dallo span delle colonne della matrice associata, quindi è facile ricavare quali sono i generatori, ed eventualmente, una base di $W$.
Ora che sai quali sono i generatori dei due sottospazi, li metti insieme in una matrice che ridurrai a gradini e di cui ne calcolerai il rango: in questo modo troverai una base dello spazio somma.
Una volta che sai la base dello spazio somma, per determinare le equazioni cartesiane, scrivi prima quelle parametriche, che si determinano facilmente scrivendo per esteso lo span di $U+W$ e associando a ogni coordinata un'incognita (cioè poni la prima coordinata dei generici vettori dello span uguale a $x$, la seconda a $y$ e così via). Una volta che hai a disposizione delle equazioni parametriche del sottospazio somma, per trovare quelle cartesiane risolvi il sistema lineare di prima eliminando i parametri liberi: in questo modo otterrai una relazione tra le coordinate dei vettori, e dunque un'equazione cartesiana.
Per ora mi fermo qui, ti ho dato gli input fondamentali. Ciao.
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