Rango di una matrice
Salve a tutti, utilizzando il teorema degli orlati stavo calcolando il rango di ogni matrice minore della matrice completa di un sistema, e le suddette matrici mi hanno dato 3 ranghi diversi, rispettivamente 1, 3 e 2:
volevo sapere se il rango della matrice completa sia 2 oppure se ci sono altre considerazioni da fare.
Grazie!
volevo sapere se il rango della matrice completa sia 2 oppure se ci sono altre considerazioni da fare.
Grazie!
Risposte
Riporta un esempio, così diventa tutto più chiaro.
Si, l'esempio è questo:
\(\begin{pmatrix}
(k-1)& 3& -1\\
k& -1& -1\\
3& (k-1)& 2
\end{pmatrix}\)
i termini noti sono:
\(\begin{pmatrix}
k\\
2\\
k
\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}
(k-1)& 3& -1\\
k& -1& -1\\
3& (k-1)& 2
\end{pmatrix}\)
i termini noti sono:
\(\begin{pmatrix}
k\\
2\\
k
\end{pmatrix}\)
Se il tuio scopo è trovare il rango.. con gli orlati ottiene che i minori esistono rispettivamente per $k!=1$ $k!=1/4$ $k!=-1$....quindi per i seguenti valori le sottomatici esistono sempre.....
secondo me hai interpretato male l'esercizio, per matrice orlata si può sottintendere il sitema omogeneo associato....
ovvero $A(x)=0$....che ha $det(A)=-k-1$....allora per $k=-1$ $rg(A)=2$ cioè il rango della matrice orlata è 2... ora bisogna vedere se il rg della matrice non orlata ovvero completa è 2... se svolgi i calcoli vedrai che sono compatibili.
Rimane da studiare il caso $k!=-1$, applicando il teorema di cramer dovresti capire cosa accade...
Spero di esserti stato di aiuto...
secondo me hai interpretato male l'esercizio, per matrice orlata si può sottintendere il sitema omogeneo associato....
ovvero $A(x)=0$....che ha $det(A)=-k-1$....allora per $k=-1$ $rg(A)=2$ cioè il rango della matrice orlata è 2... ora bisogna vedere se il rg della matrice non orlata ovvero completa è 2... se svolgi i calcoli vedrai che sono compatibili.
Rimane da studiare il caso $k!=-1$, applicando il teorema di cramer dovresti capire cosa accade...
Spero di esserti stato di aiuto...
[spoiler][/spoiler]Forse è meglio che ti faccio vedere i miei passaggi così magari mi correggi perché non sono sicuro di stare procedendo bene:
\(A=\begin{pmatrix}
(k-1) &3 &-1\\
k&-1 &-1 \\
3&(k-1) &2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 &-4 &0 \\
k&-1 &-1 \\
3&(k-1) &2
\end{pmatrix}\) (ho sottratto la 2^ riga con la 1^)
da cui ho ricavato il determinante utilizzando sarrus, e ottenendo: \(\det(A)= 9+9k = 0\) per \(k=-1\)
dunque ne ho dedotto il rango che è:
\(2\) per \(k=-1\)
\(3\) per \(k\neq-1\)
Per il teorema di rouché-capelli so che il sistema è compatibile solo se il rango di \(A\) è uguale al rango della matrice completa \(C\), quindi col metodo degli orlati tento di scoprire il rango di \(C\):
\(C^i=\begin{bmatrix}
-4&0 \\
1&-1
\end{bmatrix}=\det\neq0\) \(rango=1\);
la \(C^{ii}\) non la riscrivo essendo che corrisponde alla matrice incompleta di cui ho già calcolato il rango;
\(C^{iii}=\begin{bmatrix}
k &-4 &0 \\
2 &1 &-1 \\
k&(k-1) &2
\end{bmatrix}=k^2+5k+16\) ho utilizzato sempre sarrus e ho ottenuto questo mostro che non so se sia giusto, ma se lo è mi darebbe un numero \(\neq0\) quindi il rango sarebbe sempre \(2\).
Dunque ho \(C^i=1;C^{ii}=2\)o\(3;C^{iii}=2\)
La domanda principale è se abbia fatto un pasticcio, la seconda è, se è giusto ciò che ho fatto, che conclusioni ne potrei trarre?
A chiunque mi chiarisca questa cosa gli sarò molto grato
\(A=\begin{pmatrix}
(k-1) &3 &-1\\
k&-1 &-1 \\
3&(k-1) &2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 &-4 &0 \\
k&-1 &-1 \\
3&(k-1) &2
\end{pmatrix}\) (ho sottratto la 2^ riga con la 1^)
da cui ho ricavato il determinante utilizzando sarrus, e ottenendo: \(\det(A)= 9+9k = 0\) per \(k=-1\)
dunque ne ho dedotto il rango che è:
\(2\) per \(k=-1\)
\(3\) per \(k\neq-1\)
Per il teorema di rouché-capelli so che il sistema è compatibile solo se il rango di \(A\) è uguale al rango della matrice completa \(C\), quindi col metodo degli orlati tento di scoprire il rango di \(C\):
\(C^i=\begin{bmatrix}
-4&0 \\
1&-1
\end{bmatrix}=\det\neq0\) \(rango=1\);
la \(C^{ii}\) non la riscrivo essendo che corrisponde alla matrice incompleta di cui ho già calcolato il rango;
\(C^{iii}=\begin{bmatrix}
k &-4 &0 \\
2 &1 &-1 \\
k&(k-1) &2
\end{bmatrix}=k^2+5k+16\) ho utilizzato sempre sarrus e ho ottenuto questo mostro che non so se sia giusto, ma se lo è mi darebbe un numero \(\neq0\) quindi il rango sarebbe sempre \(2\).
Dunque ho \(C^i=1;C^{ii}=2\)o\(3;C^{iii}=2\)
La domanda principale è se abbia fatto un pasticcio, la seconda è, se è giusto ciò che ho fatto, che conclusioni ne potrei trarre?
A chiunque mi chiarisca questa cosa gli sarò molto grato
no aspetta un secondo...... la prima sottomatrice è $|(k-1)|$... ma non vuol dire nulla perchè se studi la trasposta cambia il discorso delle sottomatrici ma non il determinante finale.....
il determinante come hai ben capito è $det(A)=9+9k$ quindi per $k=-1$ la tua matrice è
$A=|(-2,3,-1),(-1,-1,-1),(3,-2,2)|$ che ha $rg(A)=2$ studiando il sitema completo ovvero la matrice
$A=|(-2,3,-1,-1),(-1,-1,-1,2),(3,-2,2,1)|$ il suo rango è sempre 2 quindi sono compatibili....
Per studiare il caso $k!=-1$ devi studiare il sitema con cramer...... ovvero che prendi il vettore delle soluzioni e lo sostituisci ad ogni vettore della matrice ottendo per il primo passo la matrice $B_1=|(k,3,-1),(2,-1,-1),(k,(k-1),2)|$ calocoli il determinante ottendo $k^2-9k-10=0$ che ha soluzioni in $k!=(-1,10)$ ora la prima soluzione è data da $1/det(A)*det(B_1)$.... vedi cosa ne concludi....
il determinante come hai ben capito è $det(A)=9+9k$ quindi per $k=-1$ la tua matrice è
$A=|(-2,3,-1),(-1,-1,-1),(3,-2,2)|$ che ha $rg(A)=2$ studiando il sitema completo ovvero la matrice
$A=|(-2,3,-1,-1),(-1,-1,-1,2),(3,-2,2,1)|$ il suo rango è sempre 2 quindi sono compatibili....
Per studiare il caso $k!=-1$ devi studiare il sitema con cramer...... ovvero che prendi il vettore delle soluzioni e lo sostituisci ad ogni vettore della matrice ottendo per il primo passo la matrice $B_1=|(k,3,-1),(2,-1,-1),(k,(k-1),2)|$ calocoli il determinante ottendo $k^2-9k-10=0$ che ha soluzioni in $k!=(-1,10)$ ora la prima soluzione è data da $1/det(A)*det(B_1)$.... vedi cosa ne concludi....
Ti ringrazio molto per la risposta, ora ho capito che per verificare le soluzioni del sistema devo proprio sostituire il valore di k che trovo, e verificare che sia compatibile con la matrice completa..
Ciò che vorrei capire è: se ti si chiede di studiare il sistema (senza risolverlo esplicitamente) quali sono le cose che devono essere fatte? E se invece lo si deve risolvere esplicitamente?
Il fatto di trovare se il sistema sia compatibile (ed eventualmente trovarne le soluzioni) mi sembra troppo facile, infatti ho dei dubbi!
Ciò che vorrei capire è: se ti si chiede di studiare il sistema (senza risolverlo esplicitamente) quali sono le cose che devono essere fatte? E se invece lo si deve risolvere esplicitamente?
Il fatto di trovare se il sistema sia compatibile (ed eventualmente trovarne le soluzioni) mi sembra troppo facile, infatti ho dei dubbi!
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