Rango di una matrice
Ciao a tutti. Sto per sottoporvi una domanda stupidissima e alla quale mi sono dato tante risposte, ma ho come la sensazione che ognuna non sia rigorosa. "Se una matrice di ordine [m,n] ha rango nullo, allora è la matrice nulla."
1) Se il rango è nullo, dalla def. di rango, la dimensione dello spazio generato dalle righe della matrice ha dimensione 0 e allora è il sottospazio banale di R^n, dunque tutte le righe sono nulle; non so perchè ma non mi convince.
2)Considerato un sistema costituito da una sola delle righe questo è lin. dipendente e quindi la riga è nulla; poichè ciò vale x ogni riga, ogni riga è nulla. E' errato dire che ogni sistema di una sola riga è per forza lin. dipendente?
Infine una domanda meno banale: adoperando il metodo dei minori, per capire quali righe/colonne sono lin. indipendenti, è sufficiente considerare un qualsiasi minore non nullo di ordine massimo per poter dire che le righe/colonne che lo individuano costituiscono una base per lo spazio generato dalle righe/colonne?
1) Se il rango è nullo, dalla def. di rango, la dimensione dello spazio generato dalle righe della matrice ha dimensione 0 e allora è il sottospazio banale di R^n, dunque tutte le righe sono nulle; non so perchè ma non mi convince.
2)Considerato un sistema costituito da una sola delle righe questo è lin. dipendente e quindi la riga è nulla; poichè ciò vale x ogni riga, ogni riga è nulla. E' errato dire che ogni sistema di una sola riga è per forza lin. dipendente?
Infine una domanda meno banale: adoperando il metodo dei minori, per capire quali righe/colonne sono lin. indipendenti, è sufficiente considerare un qualsiasi minore non nullo di ordine massimo per poter dire che le righe/colonne che lo individuano costituiscono una base per lo spazio generato dalle righe/colonne?
Risposte
Allora..
-1 sia $AinMat_(m,n)(K)$ tale che $R(A)=0$
Se $A$ ha rango $0$ allora
Ma se la dimensione dello spazio generato è $0$ vuol dire che lo spazio è formato dal solo vettore nullo.
Poiché $dim_(K){vec(0_V)}=0$
Poiché hanno la stessa dimensione allora
$ = ={vec(0_V)}$
Beh il vettore nullo di $V=Mat_(m,n)(K)$ è la matrice nulla.
Andandoci diversamente, se pur essendo $R(A)=0$, $A$ non fosse la matrice nulla allora ci sarebbe almeno una colonna(riga) non nulla ma allora sarebbe $R(A)geq1$ poiché al più può esserci una sola colonna(riga) non nulla e quindi il rango sarebbe al più $1$(nel peggiore dei casi, che comunque ci da una contraddizione)
-2 $alpha((1,0,0,...,0))=0_V$ è dipendente?
domanda meno banale
Con il metodo dei minori trovi il rango di una matrice $A$ e dunque il numero di colonne(righe) linearmente indipendenti.
Ti faccio un esempio un po' generale.
$A=((a_11,...,a_(1n)),( : , : , : ),(a_(m1),...,a_(mn)))$
Prendiamo $m,n>k$ e supponiamo che sia $R(A)leqk$
Ora se trovi una sottomatrice invertibile di ordine $k$ avrai che $R(A)geqk$ e quindi $R(A)=k$
Puoi tranquillamente usare le colonne(righe) di cui quella sottomatrice fa parte.
Lei come le colonne(righe) di una qualsiasi altra sottomatrice invertibile di ordine $k$
$A=((1,2,1),(1,0,1),(0,1,0))$
Nota che $det((1,2),(1,0))ne0$ e $det((1,0),(0,1))ne0$
Questo implica $R(A)geq2$
E in particolare $|(1,2,1),(1,0,1),(0,1,0)|=-|(1,1),(1,1)|=0$ e quindi $ R(A)leq2$
Da questo ricaviamo che $R(A)=2$
Questo vuol dire, per esempio, che avendo il sistema
$((1,2,1),(1,0,1),(0,1,0))((x),(y),(z))=0$
Puoi considerare ${(x+2y+z=0),(x+z=0):}$ oppure ${(x+z=0),(y=0):}$
Oppure anche ${(x+2y+z=0),(y=0):}$
Tutti questi sistemi, 'dati utilizzando le righe dei vari minori con determinante non nullo', danno sistemi equivalenti al sistema
${(x+2y+z=0),(x+z=0),(y=0):}$
Infatti comunque cerchi, le soluzioni saranno sempre
$S={(x,0,-x)inK^3|x inK}$
-1 sia $AinMat_(m,n)(K)$ tale che $R(A)=0$
Se $A$ ha rango $0$ allora
$dim_(K) =dim_(K) =0$
Ma se la dimensione dello spazio generato è $0$ vuol dire che lo spazio è formato dal solo vettore nullo.
Poiché $dim_(K){vec(0_V)}=0$
Poiché hanno la stessa dimensione allora
$
Beh il vettore nullo di $V=Mat_(m,n)(K)$ è la matrice nulla.
Andandoci diversamente, se pur essendo $R(A)=0$, $A$ non fosse la matrice nulla allora ci sarebbe almeno una colonna(riga) non nulla ma allora sarebbe $R(A)geq1$ poiché al più può esserci una sola colonna(riga) non nulla e quindi il rango sarebbe al più $1$(nel peggiore dei casi, che comunque ci da una contraddizione)
-2 $alpha((1,0,0,...,0))=0_V$ è dipendente?
domanda meno banale
Con il metodo dei minori trovi il rango di una matrice $A$ e dunque il numero di colonne(righe) linearmente indipendenti.
Ti faccio un esempio un po' generale.
$A=((a_11,...,a_(1n)),( : , : , : ),(a_(m1),...,a_(mn)))$
Prendiamo $m,n>k$ e supponiamo che sia $R(A)leqk$
Ora se trovi una sottomatrice invertibile di ordine $k$ avrai che $R(A)geqk$ e quindi $R(A)=k$
Puoi tranquillamente usare le colonne(righe) di cui quella sottomatrice fa parte.
Lei come le colonne(righe) di una qualsiasi altra sottomatrice invertibile di ordine $k$
$A=((1,2,1),(1,0,1),(0,1,0))$
Nota che $det((1,2),(1,0))ne0$ e $det((1,0),(0,1))ne0$
Questo implica $R(A)geq2$
E in particolare $|(1,2,1),(1,0,1),(0,1,0)|=-|(1,1),(1,1)|=0$ e quindi $ R(A)leq2$
Da questo ricaviamo che $R(A)=2$
Questo vuol dire, per esempio, che avendo il sistema
$((1,2,1),(1,0,1),(0,1,0))((x),(y),(z))=0$
Puoi considerare ${(x+2y+z=0),(x+z=0):}$ oppure ${(x+z=0),(y=0):}$
Oppure anche ${(x+2y+z=0),(y=0):}$
Tutti questi sistemi, 'dati utilizzando le righe dei vari minori con determinante non nullo', danno sistemi equivalenti al sistema
${(x+2y+z=0),(x+z=0),(y=0):}$
Infatti comunque cerchi, le soluzioni saranno sempre
$S={(x,0,-x)inK^3|x inK}$
In primis grazie per la risposta. Una domanda: rifacendomi all'ultima parte, se io ho un sistema di m equazioni (nel tuo esempio 3) di cui k lin. indipendenti, questo non significa che se prendo k equazioni qualsiasi delle m ottengo sistemi equivalenti. Il fatto che nel tuo esempio hai potuto considerare il sistema prendendo due equazioni in tutti i modi possibili è una coincidenza o è generale? Nel primo caso esisterebbe un controesempio esplicativo? In linea di massima ho intuito che dipende dal fatto che il minore abbiano determinante non nullo, ma vorrei capirlo meglio. Grazie.
"Albirz":
se io ho un sistema di $m$ equazioni di cui $k$ lin. indipendenti,
questo non significa che se prendo $k$ equazioni qualsiasi delle m ottengo sistemi equivalenti.
Le equazioni $m-k$ sono tutte combinazioni lineari delle $k$ equazioni indipendenti e, per l'algoritmo di Gauss-Jordan, le $m-k
$ equazioni possono essere eliminate senza alterare lo spazio delle soluzioni; il che equivale - sapendo già che $rango=k$ - a considerare $k$ equazioni indipendenti qualsiasi dal sistema di partenza.
Quindi posso prendere k equazioni qualsiasi tra le m, giusto? Perchè anche se ne scelgo, tra le k, alcune linearmente dipendenti dalle k indipendenti, è come se in realtà "contenessero" queste ultime?
"Albirz":
Quindi posso prendere k equazioni qualsiasi tra le m, giusto? Perchè anche se ne scelgo, tra le k, alcune linearmente dipendenti dalle k indipendenti, è come se in realtà "contenessero" queste ultime?
Non ho ben capito la seconda parte della domanda...
Se un sistema completo ha un rango inferiore al numero di equazioni date significa che quelle che sono l.d. danno informazione ridondanti per la ricerca delle incognite, quindi possiamo escluderle.
Comunque se hai fatto l'algoritmo di Gauss-Jordan prova a prendere un sistema e a ridurlo in modi differenti, e osserva cosa succede
"Magma":
...il che equivale - sapendo già che rango=k - a considerare k equazioni qualsiasi dal sistema di partenza.
Sicuro di questa affermazione?
Ciao
"orsoulx":
[quote="Magma"]...il che equivale - sapendo già che rango=k - a considerare k equazioni qualsiasi dal sistema di partenza.
Sicuro di questa affermazione?
Ciao[/quote]
Io ho considerato un caso particolare in cui $k$ è il rango della matrice completa uguale al rango della matrice dei coefficienti, quindi le $m-k$ equazioni sono tutte nulle e l'algoritmo di Gauss-Jordan non predilige un'equazione rispetto a un'altra.
"Magma":
...quindi le m−k equazioni sono tutte nulle...
??? Guarda che stavi rispondendo a chi ti chiedeva se, sapendo che il rango ... è inferiore al numero di equazioni, si possono scegliere, arbitrariamente, quali equazioni del sistema iniziale utilizzare per risolvere il sistema. La risposta mi pare non possa essere che negativa.
Ciao
Supponiamo che il sistema $AX=B$ sia un sistema compatibile
Ovvero $r(A)=r(A|B)$
Siano $A=((a_(11),...,a_(1n)),( :, :,: ),(a_(m1),...,a_(mn)))$, $X=((x_1),( : ),(x_n))$ e $B=((b_1),( : ),(b_m))$
$((a_(11),...,a_(1n)),( :, :,: ),(a_(m1),...,a_(mn)))((x_1),( : ),(x_n))=((b_1),( : ),(b_m))$
Supponiamo sia $r(A)=kleqmin{n,m}$
Allora ci sono $k$ righe linearmente indipendenti nella matrice $A$
Da questo deduciamo che ci sono $m-k$ righe che dipendono dalle prime $k$
Senza perdita di generalità possiamo dire che sono le $k$ righe sono le esattamente le prime $k$ poiché il rango è invariante rispetto alle operazioni elementari sulle righe(per particolarizzazione) e anche la disposizione delle equazioni è invariante rispetto alle operazioni elementari sulle righe.
Dato questo il sistema $AX=B$ è equivalente al sistema $A'X=B'$ dove
$((a_(11),...,a_(1n)),( :, :, : ),(a_(k1),...,a_(kn)))((x_1),( : ),(x_n))=((b_1),( : ),(b_k))$
Infatti il sistema ${(a_(11)x_1+...+a_(1n)x_n=b_1),( : ),(a_(k1)x_1+...+a_(kn)x_n=b_k):}$
Ammette le stesse soluzioni del sistema di partenza. Tutte le altre $m-k$ equazioni si ottengono come combinazione lineare delle prime $k$ quindi se $(lambda_1,...,lambda_n)$ è soluzione del sistema di $k$ equazioni è anche soluzioni delle altre $m-k$ poiché di fatto tutte le altre $m-k$ le otteniamo come combinazione lineare delle prime $k$
Chiaramente se le $k$ equazioni sono soddisfatte, anche ogni loro combinazione lineare è soddisfatta banalmente.
Infine puoi, comunque sia, prendere $k$ equazioni, l'importante è che siano indipendenti.
Naturalmente il gioco sta nel prendere quelle più convenienti.
Ovvero $r(A)=r(A|B)$
Siano $A=((a_(11),...,a_(1n)),( :, :,: ),(a_(m1),...,a_(mn)))$, $X=((x_1),( : ),(x_n))$ e $B=((b_1),( : ),(b_m))$
$((a_(11),...,a_(1n)),( :, :,: ),(a_(m1),...,a_(mn)))((x_1),( : ),(x_n))=((b_1),( : ),(b_m))$
Supponiamo sia $r(A)=kleqmin{n,m}$
Allora ci sono $k$ righe linearmente indipendenti nella matrice $A$
Da questo deduciamo che ci sono $m-k$ righe che dipendono dalle prime $k$
Senza perdita di generalità possiamo dire che sono le $k$ righe sono le esattamente le prime $k$ poiché il rango è invariante rispetto alle operazioni elementari sulle righe(per particolarizzazione) e anche la disposizione delle equazioni è invariante rispetto alle operazioni elementari sulle righe.
Dato questo il sistema $AX=B$ è equivalente al sistema $A'X=B'$ dove
$((a_(11),...,a_(1n)),( :, :, : ),(a_(k1),...,a_(kn)))((x_1),( : ),(x_n))=((b_1),( : ),(b_k))$
Infatti il sistema ${(a_(11)x_1+...+a_(1n)x_n=b_1),( : ),(a_(k1)x_1+...+a_(kn)x_n=b_k):}$
Ammette le stesse soluzioni del sistema di partenza. Tutte le altre $m-k$ equazioni si ottengono come combinazione lineare delle prime $k$ quindi se $(lambda_1,...,lambda_n)$ è soluzione del sistema di $k$ equazioni è anche soluzioni delle altre $m-k$ poiché di fatto tutte le altre $m-k$ le otteniamo come combinazione lineare delle prime $k$
Chiaramente se le $k$ equazioni sono soddisfatte, anche ogni loro combinazione lineare è soddisfatta banalmente.
Infine puoi, comunque sia, prendere $k$ equazioni, l'importante è che siano indipendenti.
Naturalmente il gioco sta nel prendere quelle più convenienti.
Ecco, quindi delle m equazioni devo prenderne k che siano tutte linearmente indipendenti, e quindi non posso prenderne k qualsiasi?
Puoi prenderne $k$ qualsiasi delle $m$ di partenza, purché linearmente indipendenti.
diciamo si le equazioni si scelgono coerentemente ai minori che si sono utilizzati o le righe che si sono eliminate dal rango ecc..
Se per esempio abbiamo tre equazioni e la prima più la seconda da la terza
Allora la terza meno la prima da la seconda
L'importante è che siano a due a due indipendenti, sennó non abbiamo fatto nulla
Il fatto che ci siano $k$ righe linearmente indipendenti, non ti dice anche quali siano, quello diciamo lo scegli tu coerentemente alle considerazioni fatte. Se hai un minore con determinante non nullo, già sai che le sue righe sono indipendenti, quindi diciamo che non ha senso andarsene a cercare delle altre.
diciamo si le equazioni si scelgono coerentemente ai minori che si sono utilizzati o le righe che si sono eliminate dal rango ecc..
Se per esempio abbiamo tre equazioni e la prima più la seconda da la terza
Allora la terza meno la prima da la seconda
L'importante è che siano a due a due indipendenti, sennó non abbiamo fatto nulla
Il fatto che ci siano $k$ righe linearmente indipendenti, non ti dice anche quali siano, quello diciamo lo scegli tu coerentemente alle considerazioni fatte. Se hai un minore con determinante non nullo, già sai che le sue righe sono indipendenti, quindi diciamo che non ha senso andarsene a cercare delle altre.
"orsoulx":
??? Guarda che stavi rispondendo a chi ti chiedeva se, sapendo che il rango ... è inferiore al numero di equazioni, si possono scegliere, arbitrariamente, quali equazioni del sistema iniziale utilizzare per risolvere il sistema.
La risposta mi pare non possa essere che negativa.
Ah giusto giusto, non ho preso in considerazione che ci possano essere equazioni proporzionali
Nella mente già mi immaginavo un sistema ridotto per righe e quindi non riuscivo a capire... 
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