Rango di una forma bilineare
Se $V$ è uno spazio vettoriale su $K$, allora una applicazione $b:VxV\toK$ si dice forma bilineare se è lineare in ognuno dei due argomenti. Perciò sono implicitamente definite due applicazioni $delta_b, delta'_b:V\toV^{**}$ lineari di $V$ sul suo duale, in questa maniera:
$\forall v,x\inV, delta_b(v)(x)=b(v,x), delta'_b(v)(x)=b(x,v)$
Quando $V$ ha dimensione finita, scelta una base $ccB$, risulta che la matrice della $delta'_b$ rispetto a $ccB$ e alla sua base duale è esattamente la matrice $M_{ccB}(b)$ che rappresenta la forma $b$ rispetto alla base $ccB$. Analogamente per la $delta_b$ con la matrice $\ ^t M_{ccB}(b)$.
A questo punto arrivano le questioni che non mi sono chiare.
1) Che cosa si intende per rango e per nucleo di una forma bilineare? Il Sernesi risolve passando la palla alla matrice associata ($"rango"(b)$$=$$"rango"(M_{ccB}(b))$). Così facendo ottiene che il rango di $b$ coincide con quello di $delta_b$ e di $delta'_b$, visto che il rango per righe e per colonne di una matrice coincidono.
2) Però mi sembra un po' una fregatura. Allora vorrei cercare di capire meglio la relazione che intercorre tra $b, delta_b, delta'_b$. Qualcuno mi sa dare dei chiarimenti?
$\forall v,x\inV, delta_b(v)(x)=b(v,x), delta'_b(v)(x)=b(x,v)$
Quando $V$ ha dimensione finita, scelta una base $ccB$, risulta che la matrice della $delta'_b$ rispetto a $ccB$ e alla sua base duale è esattamente la matrice $M_{ccB}(b)$ che rappresenta la forma $b$ rispetto alla base $ccB$. Analogamente per la $delta_b$ con la matrice $\ ^t M_{ccB}(b)$.
A questo punto arrivano le questioni che non mi sono chiare.
1) Che cosa si intende per rango e per nucleo di una forma bilineare? Il Sernesi risolve passando la palla alla matrice associata ($"rango"(b)$$=$$"rango"(M_{ccB}(b))$). Così facendo ottiene che il rango di $b$ coincide con quello di $delta_b$ e di $delta'_b$, visto che il rango per righe e per colonne di una matrice coincidono.
2) Però mi sembra un po' una fregatura. Allora vorrei cercare di capire meglio la relazione che intercorre tra $b, delta_b, delta'_b$. Qualcuno mi sa dare dei chiarimenti?
Risposte
Una forma bilineare, simmetrica o alternante e su un corpo di caratteristica non 2, è degenere se esiste $v\ne 0$ tale che g(v,w)=0 per ogni w. Il nucleo è lo spazio vettoriale generato da i vettori v che godono di quella proprietà.
Detto questo, preso un complementare del nucleo, esso è uno spazio vettoriale su cui la restrizione di g è nondegenere. La sua dimensione è il rango.
Ciao!
Detto questo, preso un complementare del nucleo, esso è uno spazio vettoriale su cui la restrizione di g è nondegenere. La sua dimensione è il rango.
Ciao!
Ma questo discorso si può fare anche se $V$ non ha dimensione finita? penso di si... il che chiuderebbe la questione, almeno per le forme bilineari simmetriche e antisimmetriche (in questo caso infatti $delta_b=+-delta'_b$). Ma perché escludere i campi di caratteristica due e le forme bilineari qualunque?
Il fatto che g(v,w)=0 per ogni w implica che anche g(w,v)=0 per ogni w?
Se g è simmetrica ovviamente sì, se è alternante anche... le condizioni sulla caratteristica sono superflue, hai ragione.
Comunque sia, se non è né simmetrica né alternante, allora dovremmo parlare di nucleo destro e nucleo sinistro.
Se g è simmetrica ovviamente sì, se è alternante anche... le condizioni sulla caratteristica sono superflue, hai ragione.
Comunque sia, se non è né simmetrica né alternante, allora dovremmo parlare di nucleo destro e nucleo sinistro.
Allora penso di avere afferrato il concetto. Se $b$ è una forma bilineare simmetrica su V, definiamo il suo nucleo come l'insieme dei vettori "ortogonali" ad ogni vettore dello spazio. Risulta che questo insieme è effettivamente il nucleo di una applicazione lineare di V sul duale($v|->b(v,*)$, oppure $v|->b(*,v)$ che è lo stesso). Per le forme antisimmetriche la musica non cambia visto che $v|->b(v,*)$ e $v|->b(*,v)$ differiscono per $-1$ e perciò il nucleo è lo stesso.
Nel caso più generale tutto questo discorso va all'aria e siamo costretti a distinguere i due argomenti destro e sinistro, e quindi i due nuclei destro e sinistro, che penso possiamo definire direttamente come $"ker"\ v|->b(v,*)$, $"ker"\ v|->b(*,v)$.
Ed ecco il fatto interessante: in dimensione finita, questi due sottospazi di V hanno la stessa dimensione. Dico questo perché queste due applicazioni sono associate alla matrice di $b$ e alla sua trasposta, e perciò hanno la stessa nullità.
Domanda a cui non so rispondere: questo continua a valere senza la dimensione finita?
(edit) Ovvero, è sempre possibile dire che il nucleo destro e sinistro hanno la stessa dimensione?
(e grazie mille a pic per il chiarimento!)
Nel caso più generale tutto questo discorso va all'aria e siamo costretti a distinguere i due argomenti destro e sinistro, e quindi i due nuclei destro e sinistro, che penso possiamo definire direttamente come $"ker"\ v|->b(v,*)$, $"ker"\ v|->b(*,v)$.
Ed ecco il fatto interessante: in dimensione finita, questi due sottospazi di V hanno la stessa dimensione. Dico questo perché queste due applicazioni sono associate alla matrice di $b$ e alla sua trasposta, e perciò hanno la stessa nullità.
Domanda a cui non so rispondere: questo continua a valere senza la dimensione finita?
(edit) Ovvero, è sempre possibile dire che il nucleo destro e sinistro hanno la stessa dimensione?
(e grazie mille a pic per il chiarimento!)
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