Rango di un endomorfismo
Salve a tutti, vi posto un esercizio che stavo provando a fare. Non mi è chiara una parte dell'indicazione alla soluzione, magari qualcuno ha una spiegazione che mi illumini.
In particolare non mi è chiara la parte dell'indicazione alla soluzione dove afferma che una matrice rappresentativa è diag(2 2 1 1) e quindi il rango è 4.
Grazie,
Roberto
In particolare non mi è chiara la parte dell'indicazione alla soluzione dove afferma che una matrice rappresentativa è diag(2 2 1 1) e quindi il rango è 4.
Grazie,
Roberto
Risposte
Ciao!
La prima cosa da fare è vedere chi sia $P:RR^n->RR^n$
l'operatore di proiezione su un sottospazio associa a un vettore $v in RR^n$ l'unico vettore di $W$ per cui risulti $v-w=w^(_|_)$. E' noto che quando si fissa una base ortogonale dello spazio $W$ si ottenga
quindi per fissare le idee puoi considerare una base $B={w_1,...,w_m}$ ortogonale di $W$
quindi diventa $T_W(v)=sum_(i=1)^(m)(v*w_i)/(||w_i||^2)*vec(w_i)+v$
puoi mostrare che se $w in W$ allora $T_W(w)=2w$ in quanto chiaramente la proiezione di un vettore di uno spazio, sul sottospazio stesso, ci ridà semplicemente il vettore. Mentre se appartiene all'ortogonale la proiezione è il vettore nulla per il semplice motivo che deve essere ortogonale a ciascun vettore della base e si avrà $T_W(w)=w$
per definizione di operatore diagonalizzabile, lo è se esiste una base di autovettori, no?
Prendiamo come base di $RR^n$ una la base di $W+W^(_|_)$
l'immagine sarà generata chiaramente da $$
i vettori $u_1,...,u_(n-k)$ sono tali che $L(u_j)=u_j$
i vettori $w_1,...,w_k$ sono tali che $L(w_t)=2w_t$
pertanto $L(RR^n)= < 2w_1,...,2w_k,u_1,...,u_(n-k)>$ che sono linearmente indipendenti ma sono anche autovettori se ci pensi in quanto $u_j |-> 1*u_j$ e $w_t|-> 2*w_t$ quindi in sostanza è una base di autovettori avremo quindi che la matrice rappresentativa sarà $d=diag_k(2)oplusdiag_(n-k)(1)$ a meno di permutare le colonne.
Essendo una matrice diagonale con elementi sulla diagonale tutti non nulli è chiaro che $r(d)=n$
Ci si aspetta quindi che $P(lambda)=a(1-lambda)^(n-k)(2-lambda)^k$ sia il polinomio caratteristico,no?
La prima cosa da fare è vedere chi sia $P:RR^n->RR^n$
l'operatore di proiezione su un sottospazio associa a un vettore $v in RR^n$ l'unico vettore di $W$ per cui risulti $v-w=w^(_|_)$. E' noto che quando si fissa una base ortogonale dello spazio $W$ si ottenga
$P_W(v)=sum_(i=1)^(m)(v*w_i)/(||w_i||^2)*vec(w_i)$
quindi per fissare le idee puoi considerare una base $B={w_1,...,w_m}$ ortogonale di $W$
quindi diventa $T_W(v)=sum_(i=1)^(m)(v*w_i)/(||w_i||^2)*vec(w_i)+v$
puoi mostrare che se $w in W$ allora $T_W(w)=2w$ in quanto chiaramente la proiezione di un vettore di uno spazio, sul sottospazio stesso, ci ridà semplicemente il vettore. Mentre se appartiene all'ortogonale la proiezione è il vettore nulla per il semplice motivo che deve essere ortogonale a ciascun vettore della base e si avrà $T_W(w)=w$
per definizione di operatore diagonalizzabile, lo è se esiste una base di autovettori, no?
Prendiamo come base di $RR^n$ una la base di $W+W^(_|_)$
$B={w_1,...,w_k,u_1,...,u_(n-k)}$
l'immagine sarà generata chiaramente da $
i vettori $u_1,...,u_(n-k)$ sono tali che $L(u_j)=u_j$
i vettori $w_1,...,w_k$ sono tali che $L(w_t)=2w_t$
pertanto $L(RR^n)= < 2w_1,...,2w_k,u_1,...,u_(n-k)>$ che sono linearmente indipendenti ma sono anche autovettori se ci pensi in quanto $u_j |-> 1*u_j$ e $w_t|-> 2*w_t$ quindi in sostanza è una base di autovettori avremo quindi che la matrice rappresentativa sarà $d=diag_k(2)oplusdiag_(n-k)(1)$ a meno di permutare le colonne.
Essendo una matrice diagonale con elementi sulla diagonale tutti non nulli è chiaro che $r(d)=n$
Ci si aspetta quindi che $P(lambda)=a(1-lambda)^(n-k)(2-lambda)^k$ sia il polinomio caratteristico,no?
Grazie mille. Quindi alla fine quel rg = 4 è solo un esempio se siamo in R^4?
Esattamente.
Prova a farti un esempio concreto su $RR^3$ e tale operatore su $<(1,0,1),(0,1,0)> =W$
Prova a farti un esempio concreto su $RR^3$ e tale operatore su $<(1,0,1),(0,1,0)> =W$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo