Radice quadrata di una matrice

[Mathstudent05]

Sia A appartenente a Mat(n) (R) una matrice reale diagonalizzabile tale che ogni autovalori di A sia non negativo. Dimostrare che esiste una matrice diagonalizzabile B e Mat(n)(R)(che chiameremo radice quadrata di A) tale che B^2 =A. Determinare una radice quadrata della matrice A=1 2 (1 riga)
-1 4(2 riga)
Salve a tutti, avrei un problema con questo esercizio di Geometria 1 perchè non riesco a capire come si fa ad estrarre una radice da A, ho provato a scrivermi in forma generica B e a moltiplicarla per se stessa uguagliando poi ciascun elemento all’elemento corrispondente di A. Non so però se è il procedimento giusto. Grazie in anticipo per la risposta.

[anonymous_0b37e9]

Dopo aver determinato gli autovalori e gli autovettori di $A$, rispetto alla base spettrale:

$A=((\lambda_1,0),(0,\lambda_2))$

Per quanto riguarda $B$, rispetto alla medesima base spettrale:

$B=((sqrt\lambda_1,0),(0,sqrt\lambda_2))$

Non resta che operare su $B$ un cambiamento di base per ricondursi alla base naturale:

$B=sqrtA=((2,1),(1,1))((sqrt2,0),(0,sqrt3))((2,1),(1,1))^(-1)=$

$=((2,1),(1,1))((sqrt2,0),(0,sqrt3))((1,-1),(-1,2))=$

$=((2sqrt2-sqrt3,-2sqrt2+2sqrt3),(sqrt2-sqrt3,-sqrt2+2sqrt3))$

Per essere sicuri di non aver commesso errori di calcolo, conviene verificare esplicitamente la seguente proprietà:

$A=B^2 rarr ((1,2),(-1,4))=((2sqrt2-sqrt3,-2sqrt2+2sqrt3),(sqrt2-sqrt3,-sqrt2+2sqrt3))((2sqrt2-sqrt3,-2sqrt2+2sqrt3),(sqrt2-sqrt3,-sqrt2+2sqrt3))$

Non richiede molto tempo.

[Mathstudent05]

Grazie mille, adesso è tutto più chiaro