Quesito su spazi vettoriali
ciao spero che mi possiate aiutare con questa domanda:
quale o quali dei seguenti non è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni?
1)l'insieme dei polinomi di grado <= n su R
2)l'insieme delle matrici di ordine 3X2
3)l'insieme dei vettori della forma [x1, x2, x3, x4] con x1=0
4)l'insieme delle matrici quadrate non singolari di ordine 3
grazie in anticipo
quale o quali dei seguenti non è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni?
1)l'insieme dei polinomi di grado <= n su R
2)l'insieme delle matrici di ordine 3X2
3)l'insieme dei vettori della forma [x1, x2, x3, x4] con x1=0
4)l'insieme delle matrici quadrate non singolari di ordine 3
grazie in anticipo
Risposte
Hai provato a fare qualcosa? Dove ti blocchi?
partendo dalla definizione di spazio vettoriale:
definiamo spazio vettoriale su R (scritto R^n) l'insieme delle n-ple ordinate di numeri reali dove sono definite le due operazioni di somma componente per componente e prodotto esterno.
1)questa è quella a cui penso poiche definita su R
2)da quello che sò le matrici del tipo (m,n) è uno spazio vettoriale diverso da R^n ma comunque uno spazio vettoriale.
3)questo è spazio vettoriale, anche se x1=0 questo non mi viola alcuna operazione
4)tranquillamente spazio vettoriale
come minimo avrò detto una stupidata colossale
in questo caso non liinciatemi 
definiamo spazio vettoriale su R (scritto R^n) l'insieme delle n-ple ordinate di numeri reali dove sono definite le due operazioni di somma componente per componente e prodotto esterno.
1)questa è quella a cui penso poiche definita su R
2)da quello che sò le matrici del tipo (m,n) è uno spazio vettoriale diverso da R^n ma comunque uno spazio vettoriale.
3)questo è spazio vettoriale, anche se x1=0 questo non mi viola alcuna operazione
4)tranquillamente spazio vettoriale
come minimo avrò detto una stupidata colossale
in questo caso non liinciatemi
qualcuno mi potrebbe dare una mano?? 
la definizione non va bene, uno spazio vettoriale non è per forza un insieme di n-uple.
la definizione vera è molto più precisa di quella che proponi:
vedila qui ad esempio, o su un buon libro di algebra lineare: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale
ora facciamo finta che non hai ancora detto niente, cerca di dimostrare ciascuno dei 4 punti.
la definizione vera è molto più precisa di quella che proponi:
vedila qui ad esempio, o su un buon libro di algebra lineare: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale
ora facciamo finta che non hai ancora detto niente, cerca di dimostrare ciascuno dei 4 punti.
grazie blackbishop13
se ora ho capito meglio la risposta è il punto 4 poiche una somma di matrici quadrate non singolari può dare origine ad una matrice singolare che non fa parte dell'insieme descritto. è corretto?
se ora ho capito meglio la risposta è il punto 4 poiche una somma di matrici quadrate non singolari può dare origine ad una matrice singolare che non fa parte dell'insieme descritto. è corretto?
Correttissimo. L'ideale sarebbe fare un esempio concreto, anche usando matrici $3x3$ semplici e comode. Provaci.
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto va molto bene. Devi ragionare in modo analogo anche negli altri casi.
Ad esempio, l'insieme dei polinomi di grado $<=n$ su $RR$ (con le operazioni standard di somma e prodotto) è uno spazio vettoriale?
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto va molto bene. Devi ragionare in modo analogo anche negli altri casi.
Ad esempio, l'insieme dei polinomi di grado $<=n$ su $RR$ (con le operazioni standard di somma e prodotto) è uno spazio vettoriale?
"Gi8":
Correttissimo. L'ideale sarebbe fare un esempio concreto, anche usando matrici $3x3$ semplici e comode. Provaci.
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto va molto bene. Devi ragionare in modo analogo anche negli altri casi.
Ad esempio, l'insieme dei polinomi di grado $<=n$ su $RR$ (con le operazioni standard di somma e prodotto) è uno spazio vettoriale?
si si. è quello che ho fatto (più con ragionamenti che con calcoli concreti) però alla fine sono riuscito a capirli
grazie a tutti
"payns":
la risposta è il punto 4 poiche una somma di matrici quadrate non singolari può dare origine ad una matrice singolare che non fa parte dell'insieme descritto. è corretto?
Certo.
Ma, più semplicemente, la matrice nulla (che è l'elemento neutro rispetto alla somma di matrici) è singolare, quindi nel tuo insieme non c'è l'elemento neutro rispetto alla somma. Perciò non puoi usare quell'insieme come sostegno di uno spazio vettoriale.
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