Quesito sottospazi: conferma
ciao a tutti, ho questo quesito da risolvere... c'è qualcuno che mi sa dire se la risposte sono ragionevoli?
Siano $V$ uno spazio vettoriale e $U$ e $W$ suoi sottospazi vettoriali non banali tali che $UnnW={0}$ si dica se le seguenti affermazioni sono vere:
A. $UuuW$ non è sottospazio
B. $U$ non è contenuto in $W$
C. $U+W=V$
D. dim($U+W$)=dim$U$+dim$W$
A. ora, la prima penso sia falsa, sapendo infatti che mentre l'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio, l'unione lo è solo quando uno dei due insiemi è contenuto nell'altro, e in questo, però, l'intersezione è l'insieme vuoto.
B. penso che anche la seconda, in relazione a quanto detto per la prima, sia falsa
C. falsa, non è detto che la somma dei sue sottospazi dia l'insieme $V$
D. vera, per il teorema di Grassman, essendo l'intersezione nulla... (è somma diretta quindi).
ah, un'altra cosa... ho un esercizio, quello dopo, identicamente uguale ma con, nella consegna, "sottospazi vettoriali propri distinti" al posto di "sottospazi vettoriali non banali". Differiscono in qualcosa le due proposizioni o hanno lo stesso significato?
Siano $V$ uno spazio vettoriale e $U$ e $W$ suoi sottospazi vettoriali non banali tali che $UnnW={0}$ si dica se le seguenti affermazioni sono vere:
A. $UuuW$ non è sottospazio
B. $U$ non è contenuto in $W$
C. $U+W=V$
D. dim($U+W$)=dim$U$+dim$W$
A. ora, la prima penso sia falsa, sapendo infatti che mentre l'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio, l'unione lo è solo quando uno dei due insiemi è contenuto nell'altro, e in questo, però, l'intersezione è l'insieme vuoto.
B. penso che anche la seconda, in relazione a quanto detto per la prima, sia falsa
C. falsa, non è detto che la somma dei sue sottospazi dia l'insieme $V$
D. vera, per il teorema di Grassman, essendo l'intersezione nulla... (è somma diretta quindi).
ah, un'altra cosa... ho un esercizio, quello dopo, identicamente uguale ma con, nella consegna, "sottospazi vettoriali propri distinti" al posto di "sottospazi vettoriali non banali". Differiscono in qualcosa le due proposizioni o hanno lo stesso significato?
Risposte
Se $U$ fosse contenuto in $W$ si avrebbe $U nn W = U != {0}$ perchè per ipotesi i sottospazi sono non banali, quindi la B direi è vera.
in base a come sono scritte, A e B hanno forma negativa... in base alle argomentazioni usate ho l'impressione che tu abbia ragionato come se nel testo non ci fosse scritto "non". sulla B è corretto il suggerimento di Gatto89, ma mi pare che tu abbia risposto "falso" intendendo "vero", mentre sulla A hai risposto giustamente "falso" ma con argomentazioni che lasciano pensare che intenderesti "vero". rifletti e facci sapere. ciao.
si scusate, quando ho scritto falsa intendo che
1. non è sottospazio $UuuV$ e quindi la risposta è vera
2. segue da sopra che appunto è falso che $U$ è contenuto in $V$ essendo l'intersezione vuota, e quindi la risposta è di per sè vera...
mi scuso per la sbataggine!
1. non è sottospazio $UuuV$ e quindi la risposta è vera
2. segue da sopra che appunto è falso che $U$ è contenuto in $V$ essendo l'intersezione vuota, e quindi la risposta è di per sè vera...
mi scuso per la sbataggine!
sì, così va bene... a quanto pare mi sono impicciata pure io sulla interpretazione della tua risposta alla domanda A ... e sulla negazione!
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