Quesito di algebra..

[djyoyo]

ciao ragazzi sono nuovo del forum, e scrivo perché dai post che ho letto credo che voi possiate risolvere un mio problema. A breve dovrò sostenere l esame di algebra e geometria, solo che gli argomenti fatti nel corso, sono stati "spezzettati" nel senso che alcune cose tra loro come geometria e sottospazi vettoriali sono stati trattati in ottiche diverse e ora ho difficolta nel capire il procedimento risolutivo di un esercizio..
Un esercizio esempio dice: in R3 sono dati il punto p(2,0,1) e il piano pigreco: x+y-2z-1=0 determinare il sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2 e parallelo a pigreco. Non mi interessa la risoluzione dell esercizio, ma solo capire il procedimento risolutivo; al corso non abbiamo trattato vettori e sottospazi legati all'ambito geometrico perchè le lezioni riprenderanno dopo le vacanze. Confido in voi, grazie

[_Tipper]

$x + y - 2z -1 = 0$ è l'equazione di un piano non passante per l'origine, quindi può essere visto come un sottospazio affine di $\mathbb{R}^3$. Un generico piano a lui parallelo ha equazione $x + y - 2z = d$, con $d \in \mathbb{R}$, affinché questa sia l'equazione cartesiana di un sottospazio vettoriale ti basta imporre il passaggio per l'origine.

[djyoyo]

ehm... non mi è molto chiaro il perchè devo imporre il passaggio per l'origine..

[_Tipper]

Perché in uno spazio vettoriale deve esistere l'elemento neutro rispetto alla somma. E per come sono definite le operazioni che rendono $\mathbb{R}^3$ uno spazio vettoriale l'elemento neutro rispetto alla somma risulta essere proprio $(0,0,0)$.

[djyoyo]

"Tipper":Perché in uno spazio vettoriale deve esistere l'elemento neutro rispetto alla somma. E per come sono definite le operazioni che rendono $\mathbb{R}^3$ uno spazio vettoriale l'elemento neutro rispetto alla somma risulta essere proprio $(0,0,0)$.

Hai ragione è vero grazie mille

[franced]

"Tipper":$x + y - 2z -1 = 0$ è l'equazione di un piano non passante per l'origine, quindi può essere visto come un sottospazio affine di $\mathbb{R}^3$. Un generico piano a lui parallelo ha equazione $x + y - 2z = d$, con $d \in \mathbb{R}$, affinché questa sia l'equazione cartesiana di un sottospazio vettoriale ti basta imporre il passaggio per l'origine.

In pratica basta mettere $d=0$.