Quando il sistema è determinato? Esercizio con parametro
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in un sistema lineare di questo tipo.
$ { ( x+2y+z=0 ),( -4x+y+kz=0 ),( (k+4)x-y=k+4):} $
E l'esercizio richiede di determinare per quali valori di k il sistema è:
a. determinato
b. indeterminato
Ho iniziato svolgendo in questo modo, con Cramer.
Visto che l'equazione associata al determinante di A risulta essere
$ 2k^2+8k $ che risulta essere diversa da zero per k=0 e k=-4
Quindi, per il teorema di cramer, se k è diverso da 0 o da -4, il sitema ammete una soluzione e possiamo procedere con il calcolo, altrimenti è indeterminato o impossibile (che poi, vorrei capire come riuscire a determinare questa situazione)
Ora arrivando a trovare i determinanti dei 3 parametri da rapportare successivamente al determinante sopra scritto, mi viene fuori un:
$ x=(2k^2-7K-4)/(2k^2+8k) $
$ y=(-k^2-8K-16)/(2k^2+8k) $
$ z=(9K+36)/(2k^2+8k) $
Ora, prendendo un k diverso da quei due valori, mi dovrei ritrovare 3 valori per le 3 variabili che sostituiti nel sistema possono darmi conferma (giusto?). Qua sorge il problema. Se prendo un k=1 mi escono fuori 3 valori che sostituiti già nella prima equazione non mi verificano l'uguaglianza. Dove sbaglio?
E poi, come fare a dire e dare le soluzioni (o scritto formalmente dietro risoluzione) che questo sistema per alcuni valori di k risulta indeterminato (o impossibile)?
Grazie Mille !
$ { ( x+2y+z=0 ),( -4x+y+kz=0 ),( (k+4)x-y=k+4):} $
E l'esercizio richiede di determinare per quali valori di k il sistema è:
a. determinato
b. indeterminato
Ho iniziato svolgendo in questo modo, con Cramer.
Visto che l'equazione associata al determinante di A risulta essere
$ 2k^2+8k $ che risulta essere diversa da zero per k=0 e k=-4
Quindi, per il teorema di cramer, se k è diverso da 0 o da -4, il sitema ammete una soluzione e possiamo procedere con il calcolo, altrimenti è indeterminato o impossibile (che poi, vorrei capire come riuscire a determinare questa situazione)
Ora arrivando a trovare i determinanti dei 3 parametri da rapportare successivamente al determinante sopra scritto, mi viene fuori un:
$ x=(2k^2-7K-4)/(2k^2+8k) $
$ y=(-k^2-8K-16)/(2k^2+8k) $
$ z=(9K+36)/(2k^2+8k) $
Ora, prendendo un k diverso da quei due valori, mi dovrei ritrovare 3 valori per le 3 variabili che sostituiti nel sistema possono darmi conferma (giusto?). Qua sorge il problema. Se prendo un k=1 mi escono fuori 3 valori che sostituiti già nella prima equazione non mi verificano l'uguaglianza. Dove sbaglio?
E poi, come fare a dire e dare le soluzioni (o scritto formalmente dietro risoluzione) che questo sistema per alcuni valori di k risulta indeterminato (o impossibile)?
Grazie Mille !
Risposte
Devi applicare il Teorema di Rouché-Capelli.
Applicando il Teorema di Rochè-Capelli si arriva cmq a una soluzione uguale.
Nel senso che calcolando il rango della matrice incompleta, questo è pari a 3 se k è diverso da zero e da -4, altrimenti il rango scende a 2.
Nella matrice completa, visto che la completa ha contunota la incompleta, anch'essa in questo caso ha rango 3 per k diverso da zero e -4.
Le due matrici infatti hanno lo stesso rango (3) se e solo se k è diverso da zero e k diverso da -4.
(Se k=0 i due rangi si abbassano a 2, e stesso discorso per k=-4. e quindi cmq il sistema è compatibile. Oppure questa parte di ragionamento è errata?)
Nel senso che calcolando il rango della matrice incompleta, questo è pari a 3 se k è diverso da zero e da -4, altrimenti il rango scende a 2.
Nella matrice completa, visto che la completa ha contunota la incompleta, anch'essa in questo caso ha rango 3 per k diverso da zero e -4.
Le due matrici infatti hanno lo stesso rango (3) se e solo se k è diverso da zero e k diverso da -4.
(Se k=0 i due rangi si abbassano a 2, e stesso discorso per k=-4. e quindi cmq il sistema è compatibile. Oppure questa parte di ragionamento è errata?)
Hai fatto male i conti. Se provi a dare a k valore 0 o -4, nella completa troverai un minore di ordine 3, mentre l'incompleta avrà rango 2.
Allora, sarà la decima volta che provo a risolverlo 
Ripartiamo dall'inizio, e andiamo passo passo.
Il sistema è sempre quello in alto nel primo messaggio. L'esercizio vuole sapere quando è COMPATIBILE (ho scritto, determinato sopra) e quando INDETERMINATO.
Calcolo il determinante della matrice incompleta A che da come rsultato $ 2k(k+4) $ che uguagliato a zero, da come soluzioni k=0 e k=-4;
PRIMA CONCLUSIONE: Se k è diverso da 0 o k diverso da -4, il rango di A è pari a 3, altrimenti scende a 2.
Calcolo il determinante della matrice COMPLETA, da cui posso estrarre 2 minori del terzo ordine, assumento come pivot prima e seconda riga con prima e seconda colonna (svincolati da k mi assicurano un rango pari a 2). Il primo minore sarà il medesimo per il calcolo del determinante della matrice incompleta e quindi risolta per k=0 e k=-4; il secondo minore è costituito con il pivot orlada con terza riga e quarta colonna che da come risultato un k=-4 (per avere il determinante = 0)
Nella matrice completa, i due minori del terzo ordine vanno contemporaneamente a zero quando k=-4.
Il sistema è compatibile per k diverso da -4, e k diverso da 0, poichè mi assicura rango uguale per le matrici completa e incompleta per il teorema di Rochè-Capelli.
Le soluzioni del sistema sono date da:
Per la X:
$ {: ( 0 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , k ),( (k+4) , -1 , 0 ) :} $
(da rapporta al det(A))
Per la Y:
$ {: ( 1 , 0 , 1 ),( -4 , 0 , k ),( (k+4) , (k+4) , 0 ) :} $
(da rapportare al det(A))
Per la Z:
$ {: ( 1 , 2 , 0 ),( -4 , 1 , 0 ),( (k+4) , -1 , (k+4)) :} $
(da rapportare al det(A))
Queste, dovrebbero, DOVREBBERO, essere le soluzioni quando il sistema è compatibile (e determinato).
Per sapere quando il sistema è indeterminato, procediamo a trovare il valore di k che mi abbassa il rango di entrambe le matrici, se possibile a uno in meno rispetto alle incognite. Questo valore è k=-4, il quale mi annulla contemporaneamente entrambi i minori del terzo ordine della matrice completa.
Ho un minore del secondo ordine, svincolato da k, che mi assicura che il rango è due. Procedo con la parametrizzazione di z, visto che i coef. di x e y sono contenuti nella matrice "indipendente":
(z=t)
$ { ( x+2y=-t ),( -4x+y=4t ):} $
con soluzioni:
x = -t
y= 0
Questa la terna di soluzioni $ oo^1 $ (-t, 0, t) con z=t;
Ci sono errori/correzioni da fare? O l'esercizio è completo in questo modo?
Grazie Mille, ragazzi !
Ripartiamo dall'inizio, e andiamo passo passo.
Il sistema è sempre quello in alto nel primo messaggio. L'esercizio vuole sapere quando è COMPATIBILE (ho scritto, determinato sopra) e quando INDETERMINATO.
Calcolo il determinante della matrice incompleta A che da come rsultato $ 2k(k+4) $ che uguagliato a zero, da come soluzioni k=0 e k=-4;
PRIMA CONCLUSIONE: Se k è diverso da 0 o k diverso da -4, il rango di A è pari a 3, altrimenti scende a 2.
Calcolo il determinante della matrice COMPLETA, da cui posso estrarre 2 minori del terzo ordine, assumento come pivot prima e seconda riga con prima e seconda colonna (svincolati da k mi assicurano un rango pari a 2). Il primo minore sarà il medesimo per il calcolo del determinante della matrice incompleta e quindi risolta per k=0 e k=-4; il secondo minore è costituito con il pivot orlada con terza riga e quarta colonna che da come risultato un k=-4 (per avere il determinante = 0)
Nella matrice completa, i due minori del terzo ordine vanno contemporaneamente a zero quando k=-4.
Il sistema è compatibile per k diverso da -4, e k diverso da 0, poichè mi assicura rango uguale per le matrici completa e incompleta per il teorema di Rochè-Capelli.
Le soluzioni del sistema sono date da:
Per la X:
$ {: ( 0 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , k ),( (k+4) , -1 , 0 ) :} $
(da rapporta al det(A))
Per la Y:
$ {: ( 1 , 0 , 1 ),( -4 , 0 , k ),( (k+4) , (k+4) , 0 ) :} $
(da rapportare al det(A))
Per la Z:
$ {: ( 1 , 2 , 0 ),( -4 , 1 , 0 ),( (k+4) , -1 , (k+4)) :} $
(da rapportare al det(A))
Queste, dovrebbero, DOVREBBERO, essere le soluzioni quando il sistema è compatibile (e determinato).
Per sapere quando il sistema è indeterminato, procediamo a trovare il valore di k che mi abbassa il rango di entrambe le matrici, se possibile a uno in meno rispetto alle incognite. Questo valore è k=-4, il quale mi annulla contemporaneamente entrambi i minori del terzo ordine della matrice completa.
Ho un minore del secondo ordine, svincolato da k, che mi assicura che il rango è due. Procedo con la parametrizzazione di z, visto che i coef. di x e y sono contenuti nella matrice "indipendente":
(z=t)
$ { ( x+2y=-t ),( -4x+y=4t ):} $
con soluzioni:
x = -t
y= 0
Questa la terna di soluzioni $ oo^1 $ (-t, 0, t) con z=t;
Ci sono errori/correzioni da fare? O l'esercizio è completo in questo modo?
Grazie Mille, ragazzi !
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