Qualche dubbio sugli insiemi connessi e convessi.
Salve,in questo thread vi volevo chiedere più un aiuto su dei concetti prettamente teorici,che su un esercizio.
I concetti in questione sono quelli di insieme connesso e insieme convesso.Nel senso,anche se conosco la definizione,non so come applicarla per capire se un insieme sia o meno connesso e/o convesso.Per esempio presi tre insiemi:
\( \{x\in \mathbb{R}:|x|>1\} \)
\( \{x\in \mathbb{R}\cup \{+ \infty\}:|x|>1\} \)
\( \{x\in \mathbb{R}\cup \{+ \infty,-\infty\}:|x|>1\} \)
mi si chiede di capire se siano o meno connessi e convessi,ora l'esercizio è alquanto semplice,ma ho comunque alcune perplessità.In questo caso pensavo che nessuno fosse connesso ,perché posso prendere dei sottoinsiemi separati in ognuno di loro(in questo esempio,i sottoinsiemi riesco a trovarli,invece per molti altri,non so da dove iniziare),cioè,l'insieme per $x>1$ e l'insieme per $x<-1$.Ma il fatto che siano tutti sconnessi mi sembra strano.Poi quando dovevo determinare se siano o meno convessi mi sono bloccato.Quindi,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi,come si determina(praticamente) se un insieme sia o meno connesso e/o convesso?
I concetti in questione sono quelli di insieme connesso e insieme convesso.Nel senso,anche se conosco la definizione,non so come applicarla per capire se un insieme sia o meno connesso e/o convesso.Per esempio presi tre insiemi:
\( \{x\in \mathbb{R}:|x|>1\} \)
\( \{x\in \mathbb{R}\cup \{+ \infty\}:|x|>1\} \)
\( \{x\in \mathbb{R}\cup \{+ \infty,-\infty\}:|x|>1\} \)
mi si chiede di capire se siano o meno connessi e convessi,ora l'esercizio è alquanto semplice,ma ho comunque alcune perplessità.In questo caso pensavo che nessuno fosse connesso ,perché posso prendere dei sottoinsiemi separati in ognuno di loro(in questo esempio,i sottoinsiemi riesco a trovarli,invece per molti altri,non so da dove iniziare),cioè,l'insieme per $x>1$ e l'insieme per $x<-1$.Ma il fatto che siano tutti sconnessi mi sembra strano.Poi quando dovevo determinare se siano o meno convessi mi sono bloccato.Quindi,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi,come si determina(praticamente) se un insieme sia o meno connesso e/o convesso?
Risposte
Per la convessità posso aiutarti:
Un insieme è convesso se, comunque prendo due punti che appartengono all'insieme e ne traccio il segmento, quest'ultimo è contenuto nell'insieme. Quindi ad esempio le circonferenze sono insiemi convessi.
${x∈R:|x|>1}$ è convesso, fai una combinazione lineare dei punti che appartengono all'insieme di definizione e vedrai che tutti i segmenti sono contenuti nell'insieme
Un insieme è convesso se, comunque prendo due punti che appartengono all'insieme e ne traccio il segmento, quest'ultimo è contenuto nell'insieme. Quindi ad esempio le circonferenze sono insiemi convessi.
${x∈R:|x|>1}$ è convesso, fai una combinazione lineare dei punti che appartengono all'insieme di definizione e vedrai che tutti i segmenti sono contenuti nell'insieme
Scusa,ma se prendo per esempio i punti $-2$ e $3$ è provassi a tracciare un segmento,esso passerebbe anche per punti che non appartengono all'insieme,quindi dalla definizione che hai dato,tale insieme non è convesso.Potresti spiegarmi come è possibile che sia convesso?
Dopo un po' di tempo,ragionando sulle definizioni,per quanto riguarda la connessione,mi sembra di aver capito se l'insieme "non ha buchi" allora è connesso(che pensando un po',mi sembra uguale a dire che:un insieme e connesso se e solo se ogni suo sottoinsieme chiuso è anche perfetto;ma specifico che sono solo cose che ho pensato e che non so se abbiano o meno senso).Tuttavia mi piacerebbe,se non vi reca disturbo,avere una conferma.
"mklplo":
Dopo un po' di tempo,ragionando sulle definizioni,per quanto riguarda la connessione,mi sembra di aver capito se l'insieme "non ha buchi" allora è connesso
Non è proprio così, se "non ha buchi" si dice semplicemente connesso, mentre connesso sostanzialmente vuol dire che è fatto di un "pezzo" solo.
(che pensando un po',mi sembra uguale a dire che: un insieme e connesso se e solo se ogni suo sottoinsieme chiuso è anche perfetto
Questo non mi sembra vero, ma non sono sicurissimo.
Grazie per la risposta,ma per sapere,potresti spiegarmi la differenza tra connesso e semplicemente connesso(mai citato nel libro)?
E se non ti reca disturbo,potresti spiegarmi l'errore in quella pseudo coimplicazione che ho scritto prima?
edit(1):
leggendomi la definizione di insieme semplicemente connesso(su wikipedia),mi sembra di aver capito la differenza.In pratico un insieme semplicemente connesso è connesso,ma non il contrario;e come esempio di insieme connesso,ma non semplicemente connesso ho pensato ad un toro o a una corona circolare.Secondo te vanno bene come esempi?
edit(2):
Poi per quanto riguarda quella pseudo-coimplicazione è falsa perché ho detto connesso invece che semplicemente connesso,oppure c'è un'altra ragione?
Il motivo infatti per cui pensavo fosse vera era che:"il non avere buchi" potrebbe significare anche non avere punti isolati,perché da quel che so avere anche solo un punto isolato implicherebbe avere punti i cui intorni non contengono altri punti dell'insieme stesso.Tuttavia un insieme aperto é non perfetto e un insieme illimitato;da quel che so non ha una chiusura in $RR$,per questo ho pensato che ogni suo sottoinsieme chiuso deve essere perfetto per far si che sia semplicemente connesso.Quindi se non ti disturba potresti spiegarmi dove sbaglio?
E se non ti reca disturbo,potresti spiegarmi l'errore in quella pseudo coimplicazione che ho scritto prima?
edit(1):
leggendomi la definizione di insieme semplicemente connesso(su wikipedia),mi sembra di aver capito la differenza.In pratico un insieme semplicemente connesso è connesso,ma non il contrario;e come esempio di insieme connesso,ma non semplicemente connesso ho pensato ad un toro o a una corona circolare.Secondo te vanno bene come esempi?
edit(2):
Poi per quanto riguarda quella pseudo-coimplicazione è falsa perché ho detto connesso invece che semplicemente connesso,oppure c'è un'altra ragione?
Il motivo infatti per cui pensavo fosse vera era che:"il non avere buchi" potrebbe significare anche non avere punti isolati,perché da quel che so avere anche solo un punto isolato implicherebbe avere punti i cui intorni non contengono altri punti dell'insieme stesso.Tuttavia un insieme aperto é non perfetto e un insieme illimitato;da quel che so non ha una chiusura in $RR$,per questo ho pensato che ogni suo sottoinsieme chiuso deve essere perfetto per far si che sia semplicemente connesso.Quindi se non ti disturba potresti spiegarmi dove sbaglio?
Per il primo dubbio, mi sembra tu abbia capito abbastanza bene la differenza, infatti quegli esempi vanno bene, altri esempi possibili sono una circonferenza, un piano senza un punto, e se uno vuole ne trova a valanghe di questi esempi.
Per il secondo, se uno spazio è connesso non è detto che ogni sottoinsieme chiuso è perfetto perché $RR$ è connesso, ma il suo sottospazio chiuso $[0,1]uuu{2}$ non è chiaramente perfetto; per l'implicazione inversa, ci ho pensato un po' ma non sono riuscito a trovare controesempi, potrebbe essere vera.
Questo non è vero, per ogni sottoinsieme $A$ di un qualsiasi spazio topologico $X$ è definita la chiusura, che è il più piccolo chiuso che include $A$.
Per il secondo, se uno spazio è connesso non è detto che ogni sottoinsieme chiuso è perfetto perché $RR$ è connesso, ma il suo sottospazio chiuso $[0,1]uuu{2}$ non è chiaramente perfetto; per l'implicazione inversa, ci ho pensato un po' ma non sono riuscito a trovare controesempi, potrebbe essere vera.
"mklplo":
un insieme illimitato;da quel che so non ha una chiusura in $RR$
Questo non è vero, per ogni sottoinsieme $A$ di un qualsiasi spazio topologico $X$ è definita la chiusura, che è il più piccolo chiuso che include $A$.
Grazie per i chiarimenti.Per quanto riguarda l'ultima cosa che hai detto,non mi è chiara una cosa,cioè,da che un insieme illimitato(che sia un intervallo di $RR$) deve essere un insieme del tipo $(-oo,+oo)$,allora la chiusura dovrebbe essere $[-oo,+oo]$ che non è contenuta in $RR$.
"mklplo":
un insieme illimitato(che sia un intervallo di $RR$) deve essere un insieme del tipo $(-oo,+oo)$allora la chiusura dovrebbe essere $[-oo,+oo]$
Non è vero.
Nemmeno questo è vero.
scusa,ma se non sbaglio un insieme è illimitato se ha un diametro infinito e quindi in $RR$ dovrebbe essere una retta,quindi dov'è l'errore?
Anche $(a,+oo)$ è illimitato, oppure anche $NN$.
con illimitato,non si indica un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente?
per quanto riguarda $NN$ ,me ne ero proprio dimenticato.
per quanto riguarda $NN$ ,me ne ero proprio dimenticato.
No, funziona all'incontrario, è con limitato che si intende sia superiormente che inferiormente, con illimitato si intende non limitato, quindi illimitato superiormente OPPURE inferiormente.
Inoltre di insiemi illimitati sia superiormente che inferiormente c'è anche $ZZ$ per esempio.
Inoltre di insiemi illimitati sia superiormente che inferiormente c'è anche $ZZ$ per esempio.
ok,finalmente,credo di aver capito,grazie a tutti.
Ritornando a prima,come già detto oltre alla connessione,non ho capito nemmeno la convessità,nel senso,dato un insieme,come faccio a sapere se e convesso o meno(ovviamente senza fare un disegno)?
Ritornando a prima,come già detto oltre alla connessione,non ho capito nemmeno la convessità,nel senso,dato un insieme,come faccio a sapere se e convesso o meno(ovviamente senza fare un disegno)?
Fare un disegno è *sempre* una buona idea. Comunque, dimostrare che un insieme è convesso può anche essere molto difficile. Di solito devi applicare direttamente la definizione.
potresti spiegarmi la differenza tra connesso e semplicemente connesso
Uno spazio $X$ è connesso se ogni funzione $\{0,1\} \to X$ si estende a una funzione continua $[0,1]\to X$
Uno spazio è semplicemente connesso se ogni funzione continua \(S^1 = \{ x \mid \|x\|_{\mathbb R^2} = 1 \} \to X\) si estende a una funzione continua \(\{x\mid \|x\|_{\mathbb R^2} \le 1\} \to X\).
[OT]
Mi è piaciuto. Però la prima condizione mi pare che indichi la connessione "per archi", piuttosto che la connessione della topologia con i chiusi e aperti, o mi sbaglio?[/OT}
"killing_buddha":potresti spiegarmi la differenza tra connesso e semplicemente connesso
Uno spazio $X$ è connesso se ogni funzione $\{0,1\} \to X$ si estende a una funzione continua $[0,1]\to X$
Uno spazio è semplicemente connesso se ogni funzione continua \(S^1 = \{ x \mid \|x\| = 1 \} \to X\) si estende a una funzione continua \(\{x\mid \|x\| \le 1\} \to X\).
Mi è piaciuto. Però la prima condizione mi pare che indichi la connessione "per archi", piuttosto che la connessione della topologia con i chiusi e aperti, o mi sbaglio?[/OT}
Uno spazio connesso ma non connesso per archi non è figlio di maria 
fare topologia algebrica (che è il fine di chiunque faccia topologia, gli altri si chiamano "logici") è possibile anche su spazi bastardi, ma diventa complicato.
fare topologia algebrica (che è il fine di chiunque faccia topologia, gli altri si chiamano "logici") è possibile anche su spazi bastardi, ma diventa complicato.
grazie,per i consigli,e scusate se rispondo in ritardo;ora mi prenderò un po' di tempo per studiarmi la definizione.
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