Quadrilatero convesso... casuale

[Piera4]

Indichiamo con $|ABC|$ l'area di un triangolo di vertici $A,B,C$.
Se tre punti $P,Q,R$ vengono presi indipendentemente a caso in un triangolo $ABC$, allora
$(E|PQR|)/(|ABC|)=1/12 $, $E|PQR|$ è il valore atteso dell'area del triangolo $P,Q,R$.

Non chiedo di provare questo risultato, la cui dimostrazione è tutt'altro che banale e si basa sulla risoluzione di una certa equazione differenziale (metodo di Crofton).
Quello che propongo è:
dedurre dal precedente risultato che se si prendono all'interno di un triangolo di vertici $A,B,C$ quattro punti indipendentemente a caso, allora la probabilità che questi punti siano vertici di un quadrilatero convesso è $2/3$.

[Kroldar]

"Piera":
Se tre punti $P,Q,R$ vengono presi indipendentemente a caso in un triangolo $ABC$

Chiedo giusto per conferma. I punti possono essere presi solo sul bordo (lati e vertici) del triangolo o anche internamente alla figura?

[Piera4]

Anche internamente.
EDIT: per chi è interessato a vedere la soluzione (per chi vuole provare a risolvere il problema non clicchi!!):

I punti formano un quadrilatero convesso quando nessun punto giace dentro il triangolo formato dagli altri tre. Per calcolare questa probabilità, consideriamo l’evento complementare
E = almeno un punto giace dentro il triangolo formato dagli altri tre.
Dunque, indicati con $P,Q,R,S$ i quattro punti, si ha
$P(E)=P([S in PQR] uu [R in PQS] uu [Q in PRS] uu [P in QRS])=4P(S in PQR ).$
Se l’area di $PQR$ è nota, cioè $|PQR|=x$ allora $P(S in PQR|{|PQR|=x})=x/(|ABC|)$.
Tutte le volte che dalla probabilità condizionata $P(S in PQR|{|PQR|=x})$ si vuole passare a
$P(S in PQR)$ si integra rispetto a $x$ e a pensarci bene non si fa altro, per definizione di valore atteso, che calcolare il valore atteso di $P(S in PQR|{|PQR|})$.
Quindi
$P(S in PQR)=E[P(S in PQR|{|PQR|})]=E((|PQR|)/(|ABC|))=(E|PQR|)/(|ABC|)=1/12$.
$=>P(E)=4*1/12=1/3$, e dunque la probabilità richiesta è $1-P(E)=2/3$.
Per maggiori informazioni su questo problema vedere: http://mathworld.wolfram.com/Sylvesters ... oblem.html