Quadriche rigate

[aram1]

Sto affrontando lo studio delle quadriche, in particolare mi risulta che quelle rigate siano gli iperboloidi a due falde e i paraboloidi iperbolici. Ne esistono altre rigate oltre a queste?
Dovendo determinare le equazioni delle rette appartenenti ad una quadrica rigata passanti per un punto P, come si deve procedere? Porto un esempio di esercizio, che sarò grato se qualcuno mi saprà spiegare come terminare.
Determinare le equazioni delle rette appartenenti alla quadrica rigata $x^2+y^2-z^2=1$ e passanti per il punto P(1,1,-1).
Ho determinato la retta generica per P in forma parametrica r: \begin{cases} x=1+at// y=1+bt// z=-1+ct \end{cases}
e l'ho sostituita nell'equazione della quadrica. Imponendo il principio di identità dei polinomi ricavo $b(b+c)=0$. Ora come si procede?

[spugna2]

Quando applichi il principio di identità dei polinomi ottieni due equazioni (una sul coefficiente di $t$ e una sul coefficiente di $t^2$), che facendo i conti sono $a+b+c=0$ e $a^2+b^2-c^2=0$, e come hai giustamente osservato la seconda diventa $b(b+c)=0$. Hai quindi due casi: nel primo $b=0$, da cui $a=-c$, mentre nel secondo $b=-c$, da cui $a=0$. Dato che ti interessa solo la classe di proporzionalità della terna $(a,b,c)$, puoi porre in entrambi i casi $c=1$ e concludere che le rette cercate sono generate dai vettori $(-1,0,1)$ e $(0,-1,1)$.

[aram1]

Ora mi è chiaro, grazie.