Quadriche: cilindro ellittico, paraboloide ellittico
Salve a tutti, stavo classificando una quadrica:
$ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x-2y=0 $
con matrice associata $ A=| ( 2 , -1 , 0 , 2 ),( -1 , 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1, 2 , 0 ),( 2 , -1 , 0 , 0 ) | $
e Sottomatrice $A_(4,4)= | ( 2 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ) | $
Det(A) =-12 quindi quadrica non degenere
Det(A-4,4)=0 poichè det(a)<0 è un paraboloide ellittico.
Poichè il rango di A = 3 e det (A_4,4) è un cilindro.
Il mio dubbio è se potevano coesistere la classificazione di paraboloide ellittico con quella di cilindro, in tal caso si parla di cilindro ellittico?
$ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x-2y=0 $
con matrice associata $ A=| ( 2 , -1 , 0 , 2 ),( -1 , 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1, 2 , 0 ),( 2 , -1 , 0 , 0 ) | $
e Sottomatrice $A_(4,4)= | ( 2 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ) | $
Det(A) =-12 quindi quadrica non degenere
Det(A-4,4)=0 poichè det(a)<0 è un paraboloide ellittico.
Poichè il rango di A = 3 e det (A_4,4) è un cilindro.
Il mio dubbio è se potevano coesistere la classificazione di paraboloide ellittico con quella di cilindro, in tal caso si parla di cilindro ellittico?
Risposte
Presumendo di trovarci in $A^3(R)$ si ha:
$Det(A)=0$ , $Rango(A_(4,4))=2$ , $Rango(A)=3$
Inoltre $Sgn(A_(4,4))=(2,0,1)$ perchè il suo polinomio caratteristico è $t(t^2 -5t+6)$
Usando il metodo dei minori principali ricavo il polinomio caratteristico di $A: t(t^3-5t^2+t+12)=0$ quindi $sgn(A)=(2,1,1)$
Date le segnature e i ranghi delle due matrici concludo che si tratta di un cilindro ellittico.
Allora quando ricavi la segnatura della sottomatrice vai a vedere la natura della quadrica all'infinito(ovvero quando non è presente il termine noto e termini di grado 1), invece per la segnatura della matrice $A$ definisci la natura dei punti.
Con la segnatura definisci la forma canonica della tua quadrica alla quale è equivalente perciò:
$sgn(A_(4,4)=(2,0,1)) $ implica che la quadrica all'infinito sarà equivalente alla forma:
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ ovvero: $x^2+y^2=0$
$sgn(A)=(2,1,1)) $ implica che nella chiusura proiettiva l'ultima coordinata è negativa, perciò ritornando in coordinate omogenee si ottiene : $x^2+y^2-1=0$
che è un cilindro ed è ellittico perchè per ogni piano che lo seziona si ottiene un'ellisse
$Det(A)=0$ , $Rango(A_(4,4))=2$ , $Rango(A)=3$
Inoltre $Sgn(A_(4,4))=(2,0,1)$ perchè il suo polinomio caratteristico è $t(t^2 -5t+6)$
Usando il metodo dei minori principali ricavo il polinomio caratteristico di $A: t(t^3-5t^2+t+12)=0$ quindi $sgn(A)=(2,1,1)$
Date le segnature e i ranghi delle due matrici concludo che si tratta di un cilindro ellittico.
Allora quando ricavi la segnatura della sottomatrice vai a vedere la natura della quadrica all'infinito(ovvero quando non è presente il termine noto e termini di grado 1), invece per la segnatura della matrice $A$ definisci la natura dei punti.
Con la segnatura definisci la forma canonica della tua quadrica alla quale è equivalente perciò:
$sgn(A_(4,4)=(2,0,1)) $ implica che la quadrica all'infinito sarà equivalente alla forma:
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ ovvero: $x^2+y^2=0$
$sgn(A)=(2,1,1)) $ implica che nella chiusura proiettiva l'ultima coordinata è negativa, perciò ritornando in coordinate omogenee si ottiene : $x^2+y^2-1=0$
che è un cilindro ed è ellittico perchè per ogni piano che lo seziona si ottiene un'ellisse
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