Quadrica contenente parabola
devo affrontare questo esercizio ma nel caso delle quadriche non mi ci trovo.
sia $p:x^2+y^2+2xy+2x-2y=0$ la parabola assegnata.studiare la quadrica contenente $p$ e passante per i punti $C(0,2,-2)$, $D(-2,0-6)$, $E(0,1,1)$ e tangente in $O$ al piano di equazioni $x-y+z=0$
credo che è un esecizio che ha a che fare con i fasci di quadriche.però i so scrivere solamente i fasci di coniche.è la stessa cosa anche per le quadriche?
sia $p:x^2+y^2+2xy+2x-2y=0$ la parabola assegnata.studiare la quadrica contenente $p$ e passante per i punti $C(0,2,-2)$, $D(-2,0-6)$, $E(0,1,1)$ e tangente in $O$ al piano di equazioni $x-y+z=0$
credo che è un esecizio che ha a che fare con i fasci di quadriche.però i so scrivere solamente i fasci di coniche.è la stessa cosa anche per le quadriche?
Risposte
In realtà è molto più semplice: quello che devi fare è prendere l'equazione generale di una quadrica (con tutti i coefficienti incogniti) e verificare le proprietà. Usa l'equazione generale della quadrica in forma "compatta"
[tex]$X^t A X+v^t X+c=0$[/tex]
dove $X=(x\ y\ z)^t$, $A$ è la matrice dei coefficienti dei termini quadrati, $v$ il vettore dei coefficienti dei termini di primo grado e $c$ una costante. In particolare osserva che se $z=0$ allora devi ridurti alla parabola precedente.
[tex]$X^t A X+v^t X+c=0$[/tex]
dove $X=(x\ y\ z)^t$, $A$ è la matrice dei coefficienti dei termini quadrati, $v$ il vettore dei coefficienti dei termini di primo grado e $c$ una costante. In particolare osserva che se $z=0$ allora devi ridurti alla parabola precedente.
mmm non capisco.cosa intendi per verificare le proprietà?puoi essere più esplicativo.non capisco i passaggi o da dove partire
Scrivi l'equazione generale della quadrica, che risulta essere [tex]$\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}x^i x^j+\sum_{i=1}^3 v_i x^i+c=0$[/tex] (ti ho scritto la cosa in forma estesa, corrispondente alla forma matriciale precedente - ricorda che la matrice $A$ è simmetrica, per cui $a_{ji}=a_{ij}$ - ho usato $x=x^1,\ y=x^2,\ z=x^3$).
Ora verifica le varie condizioni che vengono richieste: ad esempio, il fatto che la quadrica contenga la parabola (che si trova nel piano $x^3=0$) implica che, scegliendo $x^3=0$ nella quadrica si abbia l'equazione
[tex]$a_{11}(x^1)^2+2a_{12}x^1 x^2+a_{22} (x^2)^2+v_1 x^1+v_2 x^2+c=0$[/tex]
e dovendo questa essere uguale all'equazione[tex]$(x^1)^2+(x^2)^2+2 x^1 x^2+2x^1-2x^2=0$[/tex] si ricava
[tex]$a_{11}=a_{22}=a_{12}=1,\ v_1=2,\ v_2=-2,\ c=0$[/tex]
Oppure imponendo il passaggio per $C$ si ottiene (ricordando i valori precedenti)
[tex]$4a_{22}+4a_{33}-8a_{23}+2v_2-2v_3+c=0\ \Rightarrow\ 4a_{33}-8a_{23}-2v_3=0\ \Rightarrow 2a_{33}-4a_{23}-v_3=0$[/tex]
Se procedi così, alla fine otterrai un sistema di equazioni nelle $6+3+1$ incognite della forma generale della quadrica.
Ora verifica le varie condizioni che vengono richieste: ad esempio, il fatto che la quadrica contenga la parabola (che si trova nel piano $x^3=0$) implica che, scegliendo $x^3=0$ nella quadrica si abbia l'equazione
[tex]$a_{11}(x^1)^2+2a_{12}x^1 x^2+a_{22} (x^2)^2+v_1 x^1+v_2 x^2+c=0$[/tex]
e dovendo questa essere uguale all'equazione[tex]$(x^1)^2+(x^2)^2+2 x^1 x^2+2x^1-2x^2=0$[/tex] si ricava
[tex]$a_{11}=a_{22}=a_{12}=1,\ v_1=2,\ v_2=-2,\ c=0$[/tex]
Oppure imponendo il passaggio per $C$ si ottiene (ricordando i valori precedenti)
[tex]$4a_{22}+4a_{33}-8a_{23}+2v_2-2v_3+c=0\ \Rightarrow\ 4a_{33}-8a_{23}-2v_3=0\ \Rightarrow 2a_{33}-4a_{23}-v_3=0$[/tex]
Se procedi così, alla fine otterrai un sistema di equazioni nelle $6+3+1$ incognite della forma generale della quadrica.
neanche per lasciare il post in aria posto l'equazione finale della quadrica. dopo calcoli io ho ottenuto
$x^2+y^2+2xy+xz-yz+2x-2y+2z=0$
$x^2+y^2+2xy+xz-yz+2x-2y+2z=0$
Oddio, e vuoi che adesso mi metto a fare i conti e ti dico se è giusto??? 
EDIT: a me viene così
[tex]$x^2+y^2-z^2+2xy+4xz-2yz+2x-2y+2z=0$[/tex]
Ma ci sta che nella fretta abbia sbagliato qualche calcolo.
EDIT: a me viene così
[tex]$x^2+y^2-z^2+2xy+4xz-2yz+2x-2y+2z=0$[/tex]
Ma ci sta che nella fretta abbia sbagliato qualche calcolo.
"ciampax":
Oddio, e vuoi che adesso mi metto a fare i conti e ti dico se è giusto???
no ci mancherebbe.ho postato il tutto per non lasciare il post in aria.se poi ti va dacci dentro
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