Quadrica contenente due coniche.
Buongiorno.
Ho questa richiesta: Scrivere l'equazione di una quadrica contenente le due coniche.
$\{(x = 0),
($y^2$ + $z^2$ = 1 )}$ ( Non capisco perchè non mi dia il sistema!)
$\{(x = 1),
($y^2$ + $z^2$ = 4 )}$
Penso di dover usare il fascio di quadriche, ma non so come impostarlo. In realtà i fasci non ci sono stati spiegati a lezione e non trovo molto, a parte esercizi svolti che però sono incompleti
Grazie mille!
Ho questa richiesta: Scrivere l'equazione di una quadrica contenente le due coniche.
$\{(x = 0),
($y^2$ + $z^2$ = 1 )}$ ( Non capisco perchè non mi dia il sistema!)
$\{(x = 1),
($y^2$ + $z^2$ = 4 )}$
Penso di dover usare il fascio di quadriche, ma non so come impostarlo. In realtà i fasci non ci sono stati spiegati a lezione e non trovo molto, a parte esercizi svolti che però sono incompleti
Grazie mille!
Risposte
La generica quadrica che contiene la prima conica ha equazione:
(A) $\lambda x+\mu(y^2+z^2-1)=0$
Imponiamo ora che questo fascio di quadriche contenga anche la seconda conica e quindi dobbiamo
sostituire nell'equazione in (A) le equazioni della seconda conica e determinare per quali valori
(non entrambi nulli) dei parametri $\lambda,\mu$ essa è identicamente soddisfatta.
Effettuando la sostituzione abbiamo:
$\lambda+3\mu=0$
Per risolvere quest'ultima relazione abbiamo $\lambda=-3\mu$ che sostituito nella (A)
dà l'equazione :
$\mu(y^2+z^2-1)-3\mu x=0$ da cui, dividendo per $\mu $ (che non é nullo), si ha l'equazione richiesta:
$y^2+z^2-3x-1=0$
E' facile verificare che tale equazione rappresenta una quadrica (un cilindro, se non sbaglio) che contiene
effettivamente le due coniche date.
(A) $\lambda x+\mu(y^2+z^2-1)=0$
Imponiamo ora che questo fascio di quadriche contenga anche la seconda conica e quindi dobbiamo
sostituire nell'equazione in (A) le equazioni della seconda conica e determinare per quali valori
(non entrambi nulli) dei parametri $\lambda,\mu$ essa è identicamente soddisfatta.
Effettuando la sostituzione abbiamo:
$\lambda+3\mu=0$
Per risolvere quest'ultima relazione abbiamo $\lambda=-3\mu$ che sostituito nella (A)
dà l'equazione :
$\mu(y^2+z^2-1)-3\mu x=0$ da cui, dividendo per $\mu $ (che non é nullo), si ha l'equazione richiesta:
$y^2+z^2-3x-1=0$
E' facile verificare che tale equazione rappresenta una quadrica (un cilindro, se non sbaglio) che contiene
effettivamente le due coniche date.
"massimoaa":
La generica quadrica che contiene la prima conica ha equazione:
(A) $\lambda x+\mu(y^2+z^2-1)=0$
Non dovrebbe esserci $(ax+by+cz+d)x$ al posto di $lambda x$?
@spugna
Molto probabilmente hai ragione: avrei dovuto generalizzare. Grazie per il suggerimento.
Molto probabilmente hai ragione: avrei dovuto generalizzare. Grazie per il suggerimento.
Le condizioni sono soddisfatte da $ y^2+z^2=tx^2+(3-t)x+1 $ con $ t $ reale.
Ciao
Ciao
$\lambdax$ Sarebbe $\ax+by+cz+d$ poichè ho x=0, quindi y z e d non ci sono ?
Se il piano fosse stato x=1 , il fascio sarebbe stato $\lambda(x-1)$ ?
Se il piano fosse stato x=1 , il fascio sarebbe stato $\lambda(x-1)$ ?
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