Quadrica contenente curva e punti
Scusate se continuo a chiedere qui, ma mercoledì ho l'orale e sono piuttosto preoccupata.
Ho questo esercizio:
Scrivere l’equazione di una quadrica che contenga la curva
$\{(x=t),(y=t^2),(z=t^3):}$
e i due punti A: $(1, 0, 0)$ e B: $(0, 1, 0)$ .
Ho pensato di trovare il piano che contiene la curva per poi intersecarlo con questa quadrica. Il punto è che:
$1)$ Ho sempre trovato esempi su come capire se una curva è piana, ma trovare poi i valori da dare ai coefficienti del piano mi sfugge, tanto quanto trovare il termine $d$ di $ax+by+cz+d=0$. Risolvo il sistema sostituendo alle coordinate del piano quelle della curva, trovo un sistema $\{(a=0),(b=0),(c=0):}$ Quindi il sistema ha infinite soluzioni? E dopo che valori do al piano?
$2)$ So che una generica quadrica ha equazione $x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz+x+y+z=0$ (Dipende poi da che tipo è), come impongo che passi per A e B?
Ho questo esercizio:
Scrivere l’equazione di una quadrica che contenga la curva
$\{(x=t),(y=t^2),(z=t^3):}$
e i due punti A: $(1, 0, 0)$ e B: $(0, 1, 0)$ .
Ho pensato di trovare il piano che contiene la curva per poi intersecarlo con questa quadrica. Il punto è che:
$1)$ Ho sempre trovato esempi su come capire se una curva è piana, ma trovare poi i valori da dare ai coefficienti del piano mi sfugge, tanto quanto trovare il termine $d$ di $ax+by+cz+d=0$. Risolvo il sistema sostituendo alle coordinate del piano quelle della curva, trovo un sistema $\{(a=0),(b=0),(c=0):}$ Quindi il sistema ha infinite soluzioni? E dopo che valori do al piano?
$2)$ So che una generica quadrica ha equazione $x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz+x+y+z=0$ (Dipende poi da che tipo è), come impongo che passi per A e B?
Risposte
Quando $a=b=c=d=0$ allora la curva non è piana. Per trovare la quadrica passante per quei punti sostituisci a $x,y,z$ i valori dei punti e metti a sistema le due quadriche per trovare i coefficienti della quadrica passante per quei due punti
E se invece avessi trovato un sistema in cui i coefficienti fossero stati diversi da 0 sostituivo nel piano generico e trovavo d. Giusto?
Ma li sostituisco dove?
Ma li sostituisco dove?
Mostro una mia soluzione ( ma è solo un tentativo !) .
Dalle equazioni della curva deduco che :
[size=150]xy=z[/size]
Questa equazione è quella di una quadrica che contiene la curva e passa per A e per B e dunque può essere
una soluzione al quesito dato che dalla consegna vedo scritto "...una quadrica..." e non " la quadrica".
Dalle equazioni della curva deduco che :
[size=150]xy=z[/size]
Questa equazione è quella di una quadrica che contiene la curva e passa per A e per B e dunque può essere
una soluzione al quesito dato che dalla consegna vedo scritto "...una quadrica..." e non " la quadrica".
"vivi96":
E se invece avessi trovato un sistema in cui i coefficienti fossero stati diversi da 0 sostituivo nel piano generico e trovavo d. Giusto?
Ma li sostituisco dove?
No devi porre i coefficienti di $t^3, t^2, t$ e anche i termini senza $t$ (come $d$) uguali a zero
Per il piano, ok! Però continuo a non capire come sostituire i punti con i coefficienti di che cosa.. :/ 
(Ps: Grazie per la soluzione, questa l'ho colta, ma se fosse stato un esercizio meno intuitivo? )
(Ps: Grazie per la soluzione, questa l'ho colta, ma se fosse stato un esercizio meno intuitivo? )
"massimoaa":
Mostro una mia soluzione ( ma è solo un tentativo !) .
Dalle equazioni della curva deduco che :
[size=150]xy=z[/size]
Questa equazione è quella di una quadrica che contiene la curva e passa per A e per B e dunque può essere
una soluzione al quesito dato che dalla consegna vedo scritto "...una quadrica..." e non " la quadrica".
Mi è piaciuta questa soluzione.
Quanto alla domanda originale, ti sei mangiata i coefficienti nell'equazione della generica quadrica:
\[
ax^2+by^2+cz^2 + dxy+exz+fyz + gx+hy+kz + C=0.\]
Sono questi i coefficienti da determinare, imponendo le varie condizioni di passaggio.
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