Punto improprio retta
Buona sera. Avrei bisogno del vostro aiuto. Sto studiando Geometria e applicando quanto studiato alla pratica, risolvendo esercizi. Purtroppo, però, non mi è chiaro argomento punto improprio. Infatti, ad esempio, in un testo d'esame mi è richiesto di trovare il piano che passa per l'origine e parallelo alle rette
$ r: {x=1 ; z=2 $ $s:{x-y+2z=0 ; 2x+y-z+1=0$
per il piano passante per l'origine non ho problemi. Tuttavia, devo imporre condizioni di passaggio per i punti impropri delle due rette....come faccio a calcolarli? Spero in una vostra spiegazione. Su internet l'argomento è davvero poco trattato e si trovano pochissimi esempi.
vi ringrazio per l'attenzione.
(p.s. non sono in grado di fare il sistema. Le due equazioni delle rette sono in realtà un sistema per parte costituito da due equazioni, da me separate con la virgola).
$ r: {x=1 ; z=2 $ $s:{x-y+2z=0 ; 2x+y-z+1=0$
per il piano passante per l'origine non ho problemi. Tuttavia, devo imporre condizioni di passaggio per i punti impropri delle due rette....come faccio a calcolarli? Spero in una vostra spiegazione. Su internet l'argomento è davvero poco trattato e si trovano pochissimi esempi.
vi ringrazio per l'attenzione.
(p.s. non sono in grado di fare il sistema. Le due equazioni delle rette sono in realtà un sistema per parte costituito da due equazioni, da me separate con la virgola).
Risposte
$r: {(x=1), (z=2):} , s: {(x-y+2z=0), (2x+y-z+1=0):}$
sbagli a mettere il punto e virgola, credo...
sbagli a mettere il punto e virgola, credo...
Il vettore direzionale (o punto improprio) di $r$ è $u:=(0,-1,0)$, quello di $s$ è $v:=(-1,5,3)$; un piano parallelo a $r$ ed $s$ ha per vettore normale il prodotto vettoriale $u\times v$.
"Gugo82":
Il vettore direzionale (o punto improprio) di $r$ è $u:=(0,1,0)$, quello di $s$ è $v:=(-1,5,3)$; un piano parallelo a $r$ ed $s$ ha per vettore normale il prodotto vettoriale $u\times v$.
scusa gugo, come sei arrivato a questi risultati? Io non capisco proprio...eppure ho studiato e ho cercato l'argomento con la speranza di poterne capire d più...
Ma guarda, se leggi ciò che ha detto Gugo, più che di punto improprio lui parla di vettore direzionale. E in effetti mi pare anche più corretto da un punto di vista teorico: qui tu sei in un ambito di geometria euclidea, non di geometria proiettiva, quindi perché introdurre concetti estranei alla geometria euclidea?
Quindi: tu hai due rette, ognuna si porta appresso un vettore di direzione. E questo, credo, sia pacifico. Vuoi un piano parallelo a tutte e due: in termini più algebrici la direzione del piano deve contenere le direzioni delle due rette. Inoltre il piano deve passare per l'origine: quindi hai completamente individuato la direzione del piano e conosci un punto di passaggio. Come sappiamo questo individua completamente il piano.
Quanto scritto sopra è un procedimento strettamente algebrico (per la verità non molto elegante) che si può seguire per risolvere il problema. Come vedi i punti impropri non sono necessari e anzi mi pare che servano solo a complicare le cose.
Se poi vuoi una soluzione più geometrica del problema, prova a ripercorrere il ragionamento di Gugo, ricordandoti che il prodotto vettore "accetta in input" due vettori e "sputa fuori" un vettore ad essi ortogonale (nullo nei casi degeneri).
Quindi: tu hai due rette, ognuna si porta appresso un vettore di direzione. E questo, credo, sia pacifico. Vuoi un piano parallelo a tutte e due: in termini più algebrici la direzione del piano deve contenere le direzioni delle due rette. Inoltre il piano deve passare per l'origine: quindi hai completamente individuato la direzione del piano e conosci un punto di passaggio. Come sappiamo questo individua completamente il piano.
Quanto scritto sopra è un procedimento strettamente algebrico (per la verità non molto elegante) che si può seguire per risolvere il problema. Come vedi i punti impropri non sono necessari e anzi mi pare che servano solo a complicare le cose.
Se poi vuoi una soluzione più geometrica del problema, prova a ripercorrere il ragionamento di Gugo, ricordandoti che il prodotto vettore "accetta in input" due vettori e "sputa fuori" un vettore ad essi ortogonale (nullo nei casi degeneri).
"bad.alex":
[quote="Gugo82"]Il vettore direzionale (o punto improprio) di $r$ è $u:=(0,1,0)$, quello di $s$ è $v:=(-1,5,3)$; un piano parallelo a $r$ ed $s$ ha per vettore normale il prodotto vettoriale $u\times v$.
scusa gugo, come sei arrivato a questi risultati? Io non capisco proprio...eppure ho studiato e ho cercato l'argomento con la speranza di poterne capire d più...
[/quote]Precisazione: quando hai una retta in forma cartesiana, ossia scritta come intersezione di due piani:
$r: \{(a_1x+b_1y+c_1z=d_1),(a_2x+b_2y+c_2z=d_2):}$
il suo vettore direzionale si trova facendo il prodotto vettoriale dei due vettori $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)$.
Ad ogni modo, queste sono semplici regole che si trovano su un qualunque manuale di Geometria I.
Grazie, dissonance. Si, ora mi è chiaro. Grazie anche a te Gugo. Non pensavo si procedesse in quel modo per determinarlo 
Grazie infinite ad entrambi per la pazienza.
Alex
Grazie infinite ad entrambi per la pazienza.Alex
gugo...sono mortificato, ma non sono riuscito a determinarlo. Non ho ben capit quali sostituzioni fare nel sistema, oltre al prodotto vettoriale.. 
perdonami ma sto sclerando. Non sono riuscito a trovare su internet chiari esempi...
scusami ancora ma....effettivamente non ho ben capito.
perdonami ma sto sclerando. Non sono riuscito a trovare su internet chiari esempi...
scusami ancora ma....effettivamente non ho ben capito.
Mai parlato di sostituzioni. 
Allora, supponendo che tu sappia calcolare almeno il prodotto vettoriale di due vettori, abbiamo:
1) vettore direzionale di $r$: $u=(1,0,0)\times (0,0,1)=(0,-1,0)$;
2) vettore direzionale di $s$: $v=(1,-1,2)\times (2,1,-1)=(-1,5,3)$;
3) vettore normale al piano da determinare: $n=u\times v=(-3,0,-1)$;
4) equazione del piano: $-3x-z=0$ (oppure $3x+z=0$ a seconda dei gusti).
In 4) il termine noto è nullo perchè il piano è condotto per l'origine.
Da che libro studi?
Allora, supponendo che tu sappia calcolare almeno il prodotto vettoriale di due vettori, abbiamo:
1) vettore direzionale di $r$: $u=(1,0,0)\times (0,0,1)=(0,-1,0)$;
2) vettore direzionale di $s$: $v=(1,-1,2)\times (2,1,-1)=(-1,5,3)$;
3) vettore normale al piano da determinare: $n=u\times v=(-3,0,-1)$;
4) equazione del piano: $-3x-z=0$ (oppure $3x+z=0$ a seconda dei gusti).
In 4) il termine noto è nullo perchè il piano è condotto per l'origine.
Da che libro studi?
"Gugo82":
Mai parlato di sostituzioni.
Da che libro studi?
Rosati e appunti del prof.Gugo, perdonami ma non ho capito (0,0,1)?
Meglio, ho capito che prendi i coefficienti dell'equazione che ci dà la retta, ma tieni in considerazione z=2 come vettore 2(0,0,1)...come mai non scrivi anche il 2? er via della proporzionalità?Ok per il resto, chiarissimo il prodotto vettoriale.
Te l'ho detto come faccio.
Se non si legge con attenzione è difficile capire ciò che si studia.
"Gugo82":
quando hai una retta in forma cartesiana, ossia scritta come intersezione di due piani:
$r: \{(a_1x+b_1y+c_1z=d_1),(a_2x+b_2y+c_2z=d_2):}$
il suo vettore direzionale si trova facendo il prodotto vettoriale dei due vettori $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)$.
Se non si legge con attenzione è difficile capire ciò che si studia.
gugo...si, infatti ho capito. Ma essendo z=2, dovrebbe risultarmi (0,0,2) e invece ottengo (0,0,1)...o sto sbagliando o davvero non ho capito come fare
Infatti non hai capito, menti a te stesso.
Guarda attentamente alex!
Ti dico che il piano d'equazione $a_1x+b_1y+c_1z=d_1$ ha vettore normale $(a_1,b_1,c_1)$.
Ora ti chiedo: stante quello che ho detto, chi è il vettore normale al piano d'equazione $z=2$?
Guarda attentamente alex!
Ti dico che il piano d'equazione $a_1x+b_1y+c_1z=d_1$ ha vettore normale $(a_1,b_1,c_1)$.
Ora ti chiedo: stante quello che ho detto, chi è il vettore normale al piano d'equazione $z=2$?
"Gugo82":
Ti dico che il piano d'equazione $a_1x+b_1y+c_1z=d_1$ ha vettore normale $(a_1,b_1,c_1)$.
Ora ti chiedo: stante quello che ho detto, chi è il vettore normale al piano d'equazione $z=2$?
non lo so...
. Sinora sono riuscito a svolgere correttamente tutto. Le tue spiegazioni sono state molto precise e chiare e di questo te ne ringrazio. Tuttavia, sono stupido, lo riconosco, non riesco ancora a capire, malgrado tu me lo abbia ripetuto una seconda volta, come mai si ottiene (0,0,1) anzichè (0,0,2) o 2(0,0,1).Soltanto questo non mi è chiaro e l'equazione sopra riportata non mi sta aiutando...Scusami se ti chiedo di ripetere cose già dette, ma mi servono espresse in altro modo, magar ancora più facili o con esempio. Non sto arrivando alla comprensione. Scusami ancora.
L'equazione del piano è $z=2$, che si può scrivere $0x+0y+1z=2$; quindi $a_1=0,b_1=0,c_1=1$.
Che c'entra $2$?
Che c'entra $2$?
"Gugo82":
L'equazione del piano è $z=2$, che si può scrivere $0x+0y+1z=2$; quindi $a_1=0,b_1=0,c_1=1$.
Che c'entra $2$?
ok.
risulta così anche a me. E' indifferente per l'appunto scrivere 2(0,0,1) perchè vale la proporzionalità Ti ringrazio, gugo.
Scusa, che c'entra la proporzionalità?
Le componenti del vettore normale ad un piano sono i coefficienti di $x,y,z$ nella sua equazione; nel nostro caso tali coefficienti sono $0,0,1$.
Il $2$ è il termine noto, che non è coefficiente di nessuna variabile, no?
Le componenti del vettore normale ad un piano sono i coefficienti di $x,y,z$ nella sua equazione; nel nostro caso tali coefficienti sono $0,0,1$.
Il $2$ è il termine noto, che non è coefficiente di nessuna variabile, no?
ah, va bene.
Va bene niente... Provami che hai capito.
Dire se i piani $pi_1: x-y+3z=7$ e $pi_2:-x-y+3z=-7$ sono paralleli o incidenti.
Nel caso siano paralleli, dire se sono coincidenti o meno.
Nel caso siano incidenti, determinare un vettore direzionale della retta intersezione, ossia $r:=pi_1\cap pi_2$.
Dire se i piani $pi_1: x-y+3z=7$ e $pi_2:-x-y+3z=-7$ sono paralleli o incidenti.
Nel caso siano paralleli, dire se sono coincidenti o meno.
Nel caso siano incidenti, determinare un vettore direzionale della retta intersezione, ossia $r:=pi_1\cap pi_2$.
Ti scrivo i primi calcoli.
$pi_1:x-y+3z=7$ con $v=(1,-1,3)$
$pi_2: -x-y+3z=-7$ con $v'=(-1,-1,3)$
Sapendo che due piani solo paralleli se e solo se il rango della matrice incompleta ( senza considerare termini noti) è uguale a 1 e calcolando il rango della matrice costuita dalle componenti dei due vettori, si trova che rg(M)=2, ovvero i piani non sono paralleli.
(svolgo seconda parte e torno
Edit: il rango è sempre 2, pertanto i due piani sono incidenti. Provo ora a calcolarmi il vettore direzionale...
$(a_1,b_1,c_1) vet ( a_2,b_2,c_2)$
$(1,-1,3) vet (-1,-1,3) = (0,6,-2)$
forse ho sbagliato rango
$pi_1:x-y+3z=7$ con $v=(1,-1,3)$
$pi_2: -x-y+3z=-7$ con $v'=(-1,-1,3)$
Sapendo che due piani solo paralleli se e solo se il rango della matrice incompleta ( senza considerare termini noti) è uguale a 1 e calcolando il rango della matrice costuita dalle componenti dei due vettori, si trova che rg(M)=2, ovvero i piani non sono paralleli.
(svolgo seconda parte e torno
Edit: il rango è sempre 2, pertanto i due piani sono incidenti. Provo ora a calcolarmi il vettore direzionale...
$(a_1,b_1,c_1) vet ( a_2,b_2,c_2)$
$(1,-1,3) vet (-1,-1,3) = (0,6,-2)$
forse ho sbagliato rango
Non hai sbagliato nulla tranne un segno nel prodotto vettoriale.
Un vettore direzionale di $r$ è $(0,-6,-2)$.
Ok.
Un vettore direzionale di $r$ è $(0,-6,-2)$.
Ok.
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