Punto e distanza
Vorrei chiedervi una cosa: un punto è un insieme aperto o chiuso? Un insieme di punti è aperto o chiuso?
Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Risposte
dipende dalla topologia che definisci e da quanto grande è il tuo spazio..esempio nella topolofia banale nessun insieme di punti è aperto o chiuso in quella data dall'insieme delle parti ogni punto è aperto e chiuso,nella topologia euclidea i punti o loro famiglie numerabili sono chiusi ma per esempio l'intervallo (0,1) è aperto in tale Topologia..le due distanze non sono equivalenti la distanza euclidea genera più aperti..
"Jazz_lover":
un punto è un insieme aperto o chiuso?
Se lo spazio è di Hausdorff, i punti sono chiusi. Ma esistono spazi non di Hausdorff i cui punti sono chiusi (per esempio gli spazi infiniti con topologia cofinita - cioè i cui aperti sono, oltre a tutto lo spazio, i sottoinsiemi a complementare finito). Uno spazio metrico (come $RR^n$ con la distanza euclidea) è di Hausdorff quindi i suoi punti sono chiusi.
Un insieme di punti è aperto o chiuso?
Premesso che un insieme non è necessariamente aperto o chiuso, cosa intendi con "insieme di punti"? (cioè, se sei in uno spazio che ha dei punti ogni suo sottoinsieme è fatto di punti, no?). Comunque un insieme finito di punti è chiuso se i punti sono chiusi (in quanto unione finita di chiusi è un chiuso).
Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Cosa intendi con "distanza discreta"?
"Martino":
:)
[quote="Jazz_lover"]un punto è un insieme aperto o chiuso?
Se lo spazio è di Hausdorff, i punti sono chiusi. Ma esistono spazi non di Hausdorff i cui punti sono chiusi (per esempio gli spazi infiniti con topologia cofinita - cioè i cui aperti sono, oltre a tutto lo spazio, i sottoinsiemi a complementare finito). Uno spazio metrico (come $RR^n$ con la distanza euclidea) è di Hausdorff quindi i suoi punti sono chiusi.
Un insieme di punti è aperto o chiuso?
Premesso che un insieme non è necessariamente aperto o chiuso, cosa intendi con "insieme di punti"? (cioè, se sei in uno spazio che ha dei punti ogni suo sottoinsieme è fatto di punti, no?). Comunque un insieme finito di punti è chiuso se i punti sono chiusi (in quanto unione finita di chiusi è un chiuso).
Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Cosa intendi con "distanza discreta"?[/quote]
Per distanza discreta intendo la distanza d(x,y)={1 se x!=y, 0 se x=y}
Per il punto non si tratta dello spazio di Hausdorff, ma di un sottoinsieme su R^2 costituito dal punto {(0,0)}, in questo caso si tratta di un sottoinsieme aperto o chiuso?
"alberto86":
dipende dalla topologia che definisci e da quanto grande è il tuo spazio..esempio nella topolofia banale nessun insieme di punti è aperto o chiuso in quella data dall'insieme delle parti ogni punto è aperto e chiuso,nella topologia euclidea i punti o loro famiglie numerabili sono chiusi ma per esempio l'intervallo (0,1) è aperto in tale Topologia..le due distanze non sono equivalenti la distanza euclidea genera più aperti..
Invece la distanza discreta su Z e la metrica indotta da quella usuale su R d1 sono topologicamente equivalenti? Tra l'altro qual'è esattamente la metrica indotta da quella usuale su R? La metrica Euclidea?
"Jazz_lover":
Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Ovviamente no (cioè: non in $RR^n$). La distanza discreta induce la topologia discreta (ovvero: tutti i sottoinsiemi sono aperti). Infatti ogni punto coincide con la palla aperta di raggio 1/2 centrata nel punto; quindi ogni punto è aperto, e quindi ogni sottoinsieme è aperto in quanto unione di punti.
E la topologia usuale in $RR^n$ non è certo quella discreta.
Per il punto non si tratta dello spazio di Hausdorff, ma di un sottoinsieme su R^2 costituito dal punto {(0,0)}, in questo caso si tratta di un sottoinsieme aperto o chiuso?
Sì capisco che non parlavi di spazi di Hausdorff, ma è utile sapere che uno spazio metrico (quindi $RR^n$ per ogni $n$ e quindi in particolare $RR^2$) è di Hausdorff, e in uno spazio di Hausdorff i punti sono chiusi. Quindi l'origine di $RR^2$, essendo un punto, è chiuso.
Invece su $ZZ$ la topologia indotta da $RR$ è quella discreta, quindi coincide con quella indotta dalla metrica discreta. Ovvero, la distanza discreta e quella euclidea sono topologicamente equivalenti su $ZZ$.
"Martino":
[quote="Jazz_lover"]Una seconda cosa: la distanza euclidea e la distanza discreta sono topologicamente equivalenti?
Ovviamente no (cioè: non in $RR^n$). La distanza discreta induce la topologia discreta (ovvero: tutti i sottoinsiemi sono aperti). Infatti ogni punto coincide con la palla aperta di raggio 1/2 centrata nel punto; quindi ogni punto è aperto, e quindi ogni sottoinsieme è aperto in quanto unione di punti.
E la topologia usuale in $RR^n$ non è certo quella discreta.
Per il punto non si tratta dello spazio di Hausdorff, ma di un sottoinsieme su R^2 costituito dal punto {(0,0)}, in questo caso si tratta di un sottoinsieme aperto o chiuso?
Sì capisco che non parlavi di spazi di Hausdorff, ma è utile sapere che uno spazio metrico (quindi $RR^n$ per ogni $n$ e quindi in particolare $RR^2$) è di Hausdorff, e in uno spazio di Hausdorff i punti sono chiusi. Quindi l'origine di $RR^2$, essendo un punto, è chiuso.
Invece su $ZZ$ la topologia indotta da $RR$ è quella discreta, quindi coincide con quella indotta dalla metrica discreta. Ovvero, la distanza discreta e quella euclidea sono topologicamente equivalenti su $ZZ$.[/quote]
mi potresti spiegare i passaggi con l'uso delle bolle?
cioè con la definizione di equivalenza topologica per cui per ogni bolla B(p) di raggio r esiste una bolla B(p) di raggio r1 contenuta nelle bolle B(p) di raggio r?
"Jazz_lover":
mi potresti spiegare i passaggi con l'uso delle bolle?
cioè con la definizione di equivalenza topologica per cui per ogni bolla B(p) di raggio r esiste una bolla B(p) di raggio r1 contenuta nelle bolle B(p) di raggio r?
Ok.
Ricorda che in $ZZ$, sia con la metrica discreta che con quella euclidea, le palle aperte di raggio minore di 1 coincidono col loro centro. Ora:
Siamo in $ZZ$. Sia $z in ZZ$.
- la palla aperta discreta centrata in $z$ e di raggio $r>0$ contiene la palla aperta euclidea centrata in $z$ e di raggio $1/2$.
- la palla aperta euclidea centrata in $z$ e di raggio $r>0$ contiene la palla aperta discreta centrata in $z$ e di raggio $1/2$.
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