Punti di accumulazione

[kekko989]

Allora..la teoria l'ho capita..il problema permane con gli esercizi.. Trovare i punti di accumulazione dell'insieme
$E{1/m+1/n:n,m>=1,n,m inN}$. è una successione decrescente di valori e somma di due infinitesimi quindi tende a zero, e quindi secondo me, zero è punto di accumulazione per E. Ma c'è ne sono altri? Inoltre zero appartiene alla chiusura di E,poichè è estremo inferiore..E analogamente anche 2,che è estremo superiore.Ma non saprei "descrivere la chiusura".Se qualcuno mi può spiegare la risoluzione di questa tipologia di esercizi gliene sarei grato..

[Dorian1]

Ricordiamo la definizione di punto di accumulazione:

Dato uno spazio metrico $(X,d)$ ed un insieme $A sub X$, si dice che $a in A$ è punto di accumulazione (per l'insieme $A$) se:

$AA epsilon >0$, $EE x in A$ : $x in B(a,epsilon]$.

[size=75]$B(a,epsilon]$ è la palla chiusa di centro $a$ e raggio $epsilon$...[/size]

Nel nostro caso, $A=E$. Sia $epsilon > 0$ e $a$:=$1/(n_a)$, $n_a in NN$, preso un naturale $N(epsilon)>1/epsilon$ (esiste in virtù della proprietà di Archimede...), abbiamo che:

$1/(n_a)+1/(N(epsilon))<1/(n_a)+epsilon$, cioè $1/(n_a)+1/(N(epsilon)) in B(1/(n_a),epsilon]$.
Questo prova che i punti del tipo $1/n$, $n in NN$ sono di accumulazione per $E$. Cioè abbiamo provato che:

${1/n | n in NN} sube$ Acc(E).