Punti di accumulazione
l'insieme dei punti di accumulazione dell'immagine della funzione
$f: RR -> RR, f(x)={(0, x<=0),(x, x>0):}
è
$(0,+oo)sub[0,+oo)=imf$ escluso lo zero?
infatti potrei prendere un intorno sinistro di zero $B_epsilon(0)=(-epsilon,0]$ e risulta $B_epsilon(0)nnimf={0}
e così zero è punto isolato
$f: RR -> RR, f(x)={(0, x<=0),(x, x>0):}
è
$(0,+oo)sub[0,+oo)=imf$ escluso lo zero?
infatti potrei prendere un intorno sinistro di zero $B_epsilon(0)=(-epsilon,0]$ e risulta $B_epsilon(0)nnimf={0}
e così zero è punto isolato
Risposte
Guarda che quello non è un intorno di zero.
Un'intorno di un punto è un insieme che contiene un aperto che contiene quel punto.
Un'intorno di un punto è un insieme che contiene un aperto che contiene quel punto.
cito testualmente dal libro:
DEFINIZIONE: un intorno destro di $x_0 in RR$ è un intervallo $[x_0,x_0+epsilon)$ con $epsilon>0$; un intorno sinistro di $x_0$ è un intervallo $(x_0-epsilon,x_0]$. Un punto $x_0 in RR$ si dice punto di accumulazione destro (sinistro) per un insieme $X subeRR$ se ogni intorno destro (sinistro) contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0
nel mio caso, mi sembra che 0 sia un punto di accumulazione solo destro (???)
DEFINIZIONE: un intorno destro di $x_0 in RR$ è un intervallo $[x_0,x_0+epsilon)$ con $epsilon>0$; un intorno sinistro di $x_0$ è un intervallo $(x_0-epsilon,x_0]$. Un punto $x_0 in RR$ si dice punto di accumulazione destro (sinistro) per un insieme $X subeRR$ se ogni intorno destro (sinistro) contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0
nel mio caso, mi sembra che 0 sia un punto di accumulazione solo destro (???)
se è punto di accumulazione destro, allora è punto di accumulazione
lo "sbaglio" che stai facendo consiste nel dire che sia "solo" destro. E' vero se vuoi dire che non è punto di accumulazione "sinistro". Ma è punto di accumulazione
lo "sbaglio" che stai facendo consiste nel dire che sia "solo" destro. E' vero se vuoi dire che non è punto di accumulazione "sinistro". Ma è punto di accumulazione
no guarda, siamo fuori strada
Dunque:
1) la definizione di intorno è unica ed è quella che "ho dato io", valida per qualunque spazio topologico
2) Al variare dello spazio topologico si possono dare definizioni più caratterizzanti degli intorni
3) In particolare in $(RR,eucl)$, la retta reale con l'usuale topologia un intorno è un insieme che contiene un'intervallo aperto simmetrico (una palla o boccia), ok? Tipo $(x-delta,x+delta)$ è un intorno di x e tutti gli insiemi che lo contengono sono a loro volta intorni di x.
4) Invece se ci mettiamo in un sottospazio di $(RR,eucl)$, come può essere un semiasse $[x,+oo)$, gli intorni si dimostrano essere le intersezioni degli intorni di prima con $[x,+oo)$, la storia in effetti cambia solo quando si va accanto a x, perché qui gli intorni assumono evidentemente tutti la forma $[x,x+delta)$, cioè quelli che tu chiami intorni destri, ma che sono effettivamente intorni solo e soltanto quando siamo dentro lo spazio topologico $[x,+oo)$
Dunque attento, perché nel sottospazio in cui stavi lavorando, cioè $[0,+oo)$, l'intervallo $(-delta,0]$ col cavolo che è un intorno di 0!!!
Ok?
Dunque:
1) la definizione di intorno è unica ed è quella che "ho dato io", valida per qualunque spazio topologico
2) Al variare dello spazio topologico si possono dare definizioni più caratterizzanti degli intorni
3) In particolare in $(RR,eucl)$, la retta reale con l'usuale topologia un intorno è un insieme che contiene un'intervallo aperto simmetrico (una palla o boccia), ok? Tipo $(x-delta,x+delta)$ è un intorno di x e tutti gli insiemi che lo contengono sono a loro volta intorni di x.
4) Invece se ci mettiamo in un sottospazio di $(RR,eucl)$, come può essere un semiasse $[x,+oo)$, gli intorni si dimostrano essere le intersezioni degli intorni di prima con $[x,+oo)$, la storia in effetti cambia solo quando si va accanto a x, perché qui gli intorni assumono evidentemente tutti la forma $[x,x+delta)$, cioè quelli che tu chiami intorni destri, ma che sono effettivamente intorni solo e soltanto quando siamo dentro lo spazio topologico $[x,+oo)$
Dunque attento, perché nel sottospazio in cui stavi lavorando, cioè $[0,+oo)$, l'intervallo $(-delta,0]$ col cavolo che è un intorno di 0!!!
Ok?
ohhh questa è una cosa importantissima da sapere!! da quello che dici tu mi sembra di capire che un insieme del tipo $[x,x+delta)subX$ è un intorno di x se e soltanto se x è un punto di frontiera per X.
allora nel mio caso, nella definizione di punto di accumulazione, considerando 0, ogni suo intorno contiene almeno un elemento di imf diverso da 0. allora zero è punto di accumulazione.
ma la mia domanda proviene da un dubbio su una condizione del teorema di limite di funzione composta:
per capire bene quello che voglio dire, riporto il teorema dal libro:
siano $f: X->RR, XsubeRR, g: Y->RR, f(X)subeYsubeRR$ sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$ in $RR$ e si abbia:
$lim_(x->x_0)f(x)=l$ e $f(x)!=l$ definitivamente per $x->x_0
e
$lim_(y->l)g(y)=k, l, k in RR^*
allora
$lim_(x->x_0)g(f(x))=k
la condizione
$f(x)!=l$ definitivamente per $x->x_0
garantisce che l sia punto di accumulazione per $f(X)$ (non ho capito bene in che modo)
e quindi per la suddetta funzione f avevo creduto che 0 non fosse punto di accumulazione.
infatti se considero
$g: RR -> RR, g(x)={(27, x=0),(x, x!=0):}
non esiste il limite $lim_(x->0)g(f(x))
(questo dagli esempi del libro)
allora niente volevo capire pienamente il significato di questa condizione che ho detto
allora nel mio caso, nella definizione di punto di accumulazione, considerando 0, ogni suo intorno contiene almeno un elemento di imf diverso da 0. allora zero è punto di accumulazione.
ma la mia domanda proviene da un dubbio su una condizione del teorema di limite di funzione composta:
per capire bene quello che voglio dire, riporto il teorema dal libro:
siano $f: X->RR, XsubeRR, g: Y->RR, f(X)subeYsubeRR$ sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$ in $RR$ e si abbia:
$lim_(x->x_0)f(x)=l$ e $f(x)!=l$ definitivamente per $x->x_0
e
$lim_(y->l)g(y)=k, l, k in RR^*
allora
$lim_(x->x_0)g(f(x))=k
la condizione
$f(x)!=l$ definitivamente per $x->x_0
garantisce che l sia punto di accumulazione per $f(X)$ (non ho capito bene in che modo)
e quindi per la suddetta funzione f avevo creduto che 0 non fosse punto di accumulazione.
infatti se considero
$g: RR -> RR, g(x)={(27, x=0),(x, x!=0):}
non esiste il limite $lim_(x->0)g(f(x))
(questo dagli esempi del libro)
allora niente volevo capire pienamente il significato di questa condizione che ho detto
Tieni conto che $l$ è sempre aderente ad $f(X)$; il fatto che definitivamente $f(x) \ne l$ garantisce che $l$ non sia isolato per $f(X)$, e dunque di accumulazione.
ma la f
$f: RR -> RR, f(x)={(0, x<=0),(x, x>0):}
non assolve alla condizione "definitivamente $!=0$ per $x->0$"
e come mai, da come abbiamo detto, 0 è comunque punto di accumulazione per imf?
$f: RR -> RR, f(x)={(0, x<=0),(x, x>0):}
non assolve alla condizione "definitivamente $!=0$ per $x->0$"
e come mai, da come abbiamo detto, 0 è comunque punto di accumulazione per imf?
Stai facendo un errore logico: prima dicevi che se $f(x)$ è definitivamente diversa da $x_0$ allora $l$ è di accumulazione per $f(X)$. Ora hai una funzione che non è definitivamente diversa da $0$ per $x$ che tende a $0$, e quindi? La proposizione di prima non si applica; è della forma $A = > B$, e tu hai davanti $non A$, per cui logicamente non concludi nulla.
allora:
la condizione del teorema:
$f(x)$ definitivamente $!=l$ per $x->x_0$ implica $l$ è punto di accumulazione per $f(X)
ma NON $f(x)$ definitivamente $!=l$ per $x->x_0$ non implica necessariamente che $l$ non è punto di accumulazione per $f(X)$???
la condizione del teorema:
$f(x)$ definitivamente $!=l$ per $x->x_0$ implica $l$ è punto di accumulazione per $f(X)
ma NON $f(x)$ definitivamente $!=l$ per $x->x_0$ non implica necessariamente che $l$ non è punto di accumulazione per $f(X)$???
Certo, da A implica B non puoi dedurre che non A implica non B! A implica B equivale a non B implica non A.
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