Punti allineati?

[stars123]

Qualcuno mi aiuterebbe gentilmente a sciogliere questo mio dubbio? Ho 3 punti Po, P1, P2 e voglio sapere se sono o meno allineati. Vado a considerare i vettori P0P1 e P0P2 e costruisco la matrice formata dalle componenti dei due vettori. Calcolo il rango: se il rango è 3 i vettori non sono paralleli perchè sono linearmente indipendenti, se il rango è due solo due vettori sono paralleli (quindi solo due punti sono allineati) se il rango è 1 i vettori sono paralleli. E' giusto il procedimento? Vi ringrazio

[Raptorista1]

Non fai prima a vedere se le coordinate dei vettori che trovi sono in proporzione?

[ornix1]

Anzitutto diciamo che 3 punti sono allineati se giacciono tutti sulla stessa retta; altra cosa fondamentale da capire è che con 3 punti vengono generati 2 vettori. Se i 3 punti sono l.i., cioè il sottospazio affine che li contiene ha dimensione massima (o equivalentemente, se i 2 vettori sono l.i.) allora individuano uno spazio affine di dimensione 2 che è quindi un piano; se sono l.d. allora individuano uno spazio affine di dimensione 1 che è una retta. Possiamo allora concludere che condizione necessaria e sufficiente affinchè 3 punti siano allineati è che i 2 vettori da essi generati siano linearmente dipendenti.
La dipendenza lineare poi può essere verificata o con la definizione, o con la caratterizzazione dei vettori l.i. o calcolando il rango della matrice che ha come elementi le componenti dei vettori rispetto a una fissata base... In questo caso 2 vettori formano una matrice che ha al massimo rango=2. Per essere i 3 punti allineati deve essere rango=1.

[stars123]

"ornix":Anzitutto diciamo che 3 punti sono allineati se giacciono tutti sulla stessa retta; altra cosa fondamentale da capire è che con 3 punti vengono generati 2 vettori. Se i 3 punti sono l.i., cioè il sottospazio affine che li contiene ha dimensione massima (o equivalentemente, se i 2 vettori sono l.i.) allora individuano uno spazio affine di dimensione 2 che è quindi un piano; se sono l.d. allora individuano uno spazio affine di dimensione 1 che è una retta. Possiamo allora concludere che condizione necessaria e sufficiente affinchè 3 punti siano allineati è che i 2 vettori da essi generati siano linearmente dipendenti.
La dipendenza lineare poi può essere verificata o con la definizione, o con la caratterizzazione dei vettori l.i. o calcolando il rango della matrice che ha come elementi le componenti dei vettori rispetto a una fissata base... In questo caso 2 vettori formano una matrice che ha al massimo rango=2. Per essere i 3 punti allineati deve essere rango=1.

Grazie mille, con questa spiegazione hai sciolto ogni mio dubbio