Pullback $f^*\omega$ di una 2-forma

[nostradamus1]

Ciao a tutti, ho da risolvere questo esercizio

"Data l'applicazione differenziabile :
$f: \R^2 \rightarrow \R^3 $, $ (u,v) \mapsto (2v-u^2, 3u, 4u+v^2) $ e la 2-forma differenziale
$\omega= y dx \wedge dy - zdz \wedge dx + x dx \wedge dy $ $ \in \Omega^2 ( \R^3)$,
calcolare il pullback $f^{* }\omega$."

Soluzione

$x= 2v-u^2$
$y=3u$
$z= 4u+v^2$
\begin{eqnarray*}
f^* \omega = 3u d(2v-u^2) \wedge d(3u) - (4u+v^2)d(4u+v^2) \wedge d(2v-u^2) + ( 2v-u^2)
\end{eqnarray*}
Calcolo a parte
$d(2v-u^2)= 2 dv-2udu$
$d(3u)=3du$
$d(4u+v^2) = 4du + 2vdv$
Ora calcolo i wedge
\begin{array}{lll}
d(2v - u^2) \wedge d(3u) = (2dv-2udu) \wedge (3du)= 6 dv\wedge du & & \\
d(4u+v^2) \wedge d(2v-u^2) = (4 du + 2v dv) \wedge (2dv - 2u du) & =& 8 du \wedge dv - 4u dv \wedge du \\
&=& (8+4u) du \wedge dv
\end{array}
Infine sostituisco quanto ottenuto in $f^*\omega$ e ottengo
\begin{eqnarray*}
f^{*} \omega& =&-18 u du \wedge dv - ( 4u + v^2)( 8 + 4u ) du \wedge dv - 6 ( 2v- u^2) du \wedge dv \\
&=& -18 u du \wedge dv -(32 u + 8 v^2 + 16 u^2 + 4 uv^2) du \wedge dv - 6 ( 2v- u^2) du \wedge dv \\
&=&2( 4v^2 + 2 uv^2 - 6 v +11 u^2 - 25 u) du \wedge dv .
\end{eqnarray*}

A me viene questo risultato, ma non mi convince, anche se tutte le volte che ho rifatto i calcoli continua a venirmi. Qualcuno di voi può dirmi se ho fatto tutto giusto? Se anche a voi torna questo risultato?
Grazie mille !!

[vict85]

Le due forme in uno spazio vettoriale di dimensione 2 formano uno spazio di dimensione 1. Quindi direi che non hai finito.