Provare che $g$ induce un endomorfismo $f$ su $V$

[mazzy89-votailprof]

In $RR^5$ sono assegnati i vettori $v_1 = (1, 0, 0, 1, 1), v_2 = (0, 1, 0, 1,-1), v_3 = (0, 0, 1, 1,-1), v_4 =(1, 1, 1, 3, -1),$

$v_5 = (1, 2, 1, 4, -2)$ e $v_6 = (3, 1, 0, 4, 2)$. Sia $V = L(v_1, v_2, v_3)$ e $g: V \to RR^5$

l’applicazione lineare definita dalle seguenti assegnazioni:

$g(v_1) = v_1 + v_4$
$g(v_2) = hv_3 + v_6$
$g(v_3) = v_2 + v_5$

con $h$ parametro reale.

Provare che $g$ induce un endomorfismo $f$ su $V$.

[apatriarca]

Per essere un endomorfismo devi dimostrare che l'immagine di $g$ è contenuto in $V$.

[mazzy89-votailprof]

"apatriarca":Per essere un endomorfismo devi dimostrare che l'immagine di $g$ è contenuto in $V$.

mi potresti illustrare i passaggi?

[apatriarca]

Vista la definizione di $g$ suppongo sia lineare e quindi basta dimostrare che le immagini dei generatori di $V$ è interna a $V$ (quindi combinazione lineare di $v_1, v_2$ e $v_3$.

$g(v_2) = hv_3 + v_6$
$hv_3$ appartiene a $V$ qualunque sia il parametro $h$ e quindi è necessario dimostrare solo che $v_6 \in V$. $v_6 = 3v_1 + v_2$ e quindi $g(v_2) \in V$.

Gli altri due si risolvono nello stesso modo e quindi li lascio a te.