Prova autovalore
ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
Risposte
"mazzy89":
ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
esatto.
"giovanni1984":
[quote="mazzy89"]ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
esatto.[/quote]
e qui prende vita il dubbio che più mi preme.sbaglio ma credo che non posso scrivere direttamente la matrice associata all'endomorfismo perché quelle che ho non sono le immagini rispetto alle basi canoniche dato che nella prima e quarta riga mi trovo $2e_1$ e $2e_3$. sbaglio?
"mazzy89":
[quote="giovanni1984"][quote="mazzy89"]ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
esatto.[/quote]
e qui prende vita il dubbio che più mi preme.sbaglio ma credo che non posso scrivere direttamente la matrice associata all'endomorfismo perché quelle che ho non sono le immagini rispetto alle basi canoniche dato che nella prima e quarta riga mi trovo $2e_1$ e $2e_3$. sbaglio?[/quote] Basta osservare che $f_k(e_1)=1/2f_k(2e_1)=$
e che $f_k(e_3)=1/2f_k(2e_3)=$
"giovanni1984":
[quote="mazzy89"][quote="giovanni1984"][quote="mazzy89"]ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$RR$-spazio vettoriale $RR^4$ e sia $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
devo provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
ecco i miei dubbi:
per risolvere l'esercizio mi occorre trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica per poi calcolarmi il polinomio caratteristico e proseguire con la ricerca degli autovalori.esatto?
esatto.[/quote]
e qui prende vita il dubbio che più mi preme.sbaglio ma credo che non posso scrivere direttamente la matrice associata all'endomorfismo perché quelle che ho non sono le immagini rispetto alle basi canoniche dato che nella prima e quarta riga mi trovo $2e_1$ e $2e_3$. sbaglio?[/quote] Basta osservare che $f_k(e_1)=1/2f_k(2e_1)=$
e che $f_k(e_3)=1/2f_k(2e_3)=$[/quote]
mmm scusa ma non capisco.potresti spiegarmelo meglio?sicuramente sarò io ma non lo sto capendo...
Si tratta di un endomorfismo, quindi $f_k(2 e_1)=2 f_k(e_1)$ e, conseguentemente, $f_k(e_1)=1/2 f_k(2e_1).
Ovviamente la stessa cosa la puoi fare per $f_k(e_3)$. Visto che già conosci $f_k(2 e_1)$ ed $f_k(2 e_3)$, puoi ricavarti $f_k(e_1)$ ed $f_k(e_3)$ come combinazione lineare dei vettori della base e costruire la matrice associata ad $f_k$.
Ovviamente la stessa cosa la puoi fare per $f_k(e_3)$. Visto che già conosci $f_k(2 e_1)$ ed $f_k(2 e_3)$, puoi ricavarti $f_k(e_1)$ ed $f_k(e_3)$ come combinazione lineare dei vettori della base e costruire la matrice associata ad $f_k$.
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