Proprietà prodotto vettoriale
Come posso mostrare che dati tre generici vettori $u,v,w\inRR^n$ vale $uxx(vxxw)=alphav+betaw$ con ovviamente $alpha,beta\inRR$?
NB: con $xx$ indico il prodotto vettoriale.
NB: con $xx$ indico il prodotto vettoriale.
Risposte
Beh, basta svolgere 
Supponiamo $v, w in R^3\text{ , } v=alpha w$, i vettori cioè sono paralleli:
$u xx (v xx w)= u xx 0= 0= 0 v + 0 w$
Possiamo quindi analizzare il caso in cui non siano paralleli:
$ u xx (v xx w)= u xx( v^(_|_) nn w^(_|_)) = (alpha v + beta w + gamma( v^(_|_) nn w^(_|_))) xx ( v^(_|_) nn w^(_|_))=beta v -alpha w$
Con $v^(_|_)$ intendo l'ortogonale al vettore $v$ e con $( v^(_|_) nn w^(_|_))$ intendo l'unico vettore generato dal prodotto vettoriale che sia ortogonale sia a $v$ che a $w$. Essendo $$ una base dello spazio, posso descrivere il vettore $u$ come combinazione lineare dei tre vettori.
P.S. Ricorda che il prodotto vettoriale è ben definito solo in $RR^3$ non in $RR^n$.
Supponiamo $v, w in R^3\text{ , } v=alpha w$, i vettori cioè sono paralleli:
$u xx (v xx w)= u xx 0= 0= 0 v + 0 w$
Possiamo quindi analizzare il caso in cui non siano paralleli:
$ u xx (v xx w)= u xx( v^(_|_) nn w^(_|_)) = (alpha v + beta w + gamma( v^(_|_) nn w^(_|_))) xx ( v^(_|_) nn w^(_|_))=beta v -alpha w$
Con $v^(_|_)$ intendo l'ortogonale al vettore $v$ e con $( v^(_|_) nn w^(_|_))$ intendo l'unico vettore generato dal prodotto vettoriale che sia ortogonale sia a $v$ che a $w$. Essendo $
P.S. Ricorda che il prodotto vettoriale è ben definito solo in $RR^3$ non in $RR^n$.
Grazie mille! Anche per la precisazione di $RR^3$, avevo scritto $RR^n$ senza pensarci 
Approfitto per un altro dubbio inerente...
Consideriamo $w\inRR^3$ un vettore le cui coordinate dipendono dal parametro $t\inRR$.
Ho dimostrato che $(w/|w|)'=(wxx(w'xxw))/|w|^3$.
Ora voglio calcolare, dati $u,v\inRR^3$ dipendenti da $t\inRR$, quanto vale $((uxxv)/|uxxv|)'$.
Applico la considerazione che ho dimostrato precedentemente e ho che
$((uxxv)/|uxxv|)'=((uxxv)xx((uxxv)'xx(uxxv)))/|uxxv|^3$
ma ora come posso "semplificare" questa espressione?
Consideriamo $w\inRR^3$ un vettore le cui coordinate dipendono dal parametro $t\inRR$.
Ho dimostrato che $(w/|w|)'=(wxx(w'xxw))/|w|^3$.
Ora voglio calcolare, dati $u,v\inRR^3$ dipendenti da $t\inRR$, quanto vale $((uxxv)/|uxxv|)'$.
Applico la considerazione che ho dimostrato precedentemente e ho che
$((uxxv)/|uxxv|)'=((uxxv)xx((uxxv)'xx(uxxv)))/|uxxv|^3$
ma ora come posso "semplificare" questa espressione?
Con quell'apostrofo intendi la derivata prima?
Esercizio1
Per la dimostrazione c'è anche una semplice interpretazione geometrica ( vedi fig.)
Senza perdere di generalità possiamo supporre che i tre vettori abbiano una comune origine O.
Allora detto $alpha$ il piano di v,w, il prodotto $vxxw$ risulta normale al piano $alpha $ nel punto O.
Detto poi $beta $ il piano individuato da $u$ e da $vxxw$, risulterà $beta $ perpendicolare ad $alpha$.
Ora $uxx(vxxw)$ è perpendicolare al piano $beta $ sempre nel punto O. E poiché le rette perpendicolari a $beta $
nel punto O sono tutte nel piano $alpha$, a tale piano appartiene anche il vettore $uxx(vxxw)$, che quindi può essere espresso come combinazione lineare di $v $ e di $w$
Un'altra semplice dimostrazione è quella che si appoggia alla formula :
$axx(bxxc)=b(a.c)-c(a.b)$
dove $a,b,c$ sono tre generici vettori e il punto "." indica il prodotto scalare.
Nel nostro caso risulta :
$uxx(vxxw)=v(u.w)-w(u.v)$
E poiché $(u.w)$ e $-(u.v)$ sono scalari, segue l'asserto.
"Maci86":
Con quell'apostrofo intendi la derivata prima?
Esattamente
@ciromario: grazie, soprattutto per il supporto grafico che ne facilita la comprensione
Stai studiando le curve in geometria differenziale?
Esatto
Diciamo che in geometria differenziale $u$ e $v$ sono ortogonali, il che semplifica mille mila volta la vita
In realtà volevo dedurre una formula che non richiedesse l'ortogonalità tra $u$ e $v$, per poi eventualmente trattare il caso particolare di ortogonalità.
Viene un bel casino, francamente parlando, ci ho provato sta mattina alle 5 e ho rinunciato perché era troppo complicato da gestire
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