Proprietà parallelismo tra spazi affini.

[Kashaman]

Salve ragazzi , ho un dubbio circa la dimostrazione circa questa semplice proposizione :

Sia $A_n(V,K,\phi) $ uno spazio affine . Ed $S-(Q, W)$ ed $S' - ( Q', W')$ due sottospazi affini di $A_n$ con $Q \in S , Q' \in S'$ e $W,W'$ sottospazi di $W$.
Supponiamo che $dimS<=dimS'$
Si ha
1) $SsubeS' => S$ è parallelo a $S'$.

dimostrazione :
Di per se è semplice la provare , cioè voglio provare che se $S sube S'$ allora $W sube W'$.

Dunque sia $w \in W$ qualsiasi, dagli assiomi di spazio affine so che $EE ! P \in A_n : \overline{PQ} =w $
Ma so che $S sube S' => P,Q \in S => P,Q \in S'$ (1)e dunque sarei tentato di dire, (come infatti fa la mia prof) che $QP = \in W'$.
Ma ad una analisi più approfondita direi che sarebbe più corretto dire che :
da 1) si desume che $Q'P \in W' ^^ Q'Q \in W'$ e quindi poiché $W $ è un sottospazio , si ha che anche

$ Q'P + Q'Q = -Q(Q')+Q'P= - QP \in W'$ e cioé $-w \in W'$ e quindi poché $W$ è sottospazio vale che $w \in W'$.
Cioè la tesi.

Giusto?

Grazie mille.

[Kashaman]

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