Proprietà matrici prodotto
Come posso dimostrare l'associaticità rispetto alla somma della matrici prodotto?
Risposte
no ho sbagliato volevo intendere comunque questa proprieta:
A (B+C) = A B + A C
A (B+C) = A B + A C
Quindi stai parlando della distributività del prodotto matriciale rispetto alla somma tra matrici?
si!
perfetto! grazie!
per l'associatività? comsiderando però matrici non quadrate..
Per dimostrare l'associatività del prodotto tra matrici (A(BC)=(AB)C) basta che ragioni sull'elemento generico (che è il prodotto di una riga per una colonna) come ti ha mostrato Sergio però stai attento perché otterrai una doppia sommatoria!
L'unica condizione da imporre sulle dimensioni delle matrici in questione è che possano essere moltiplicate, non devono per forza essere quadrate.
Per passare all'associatività nel caso di n matrici basta utilizzare il caso base (A(BC)=(AB)C) e procedere per induzione.
Ti suggerisco di provarci e sbatterci la testa che aiuta, fidati!
Poi se non ci riesci posta pure i tentativi falliti.
Ciao
Leonardo
L'unica condizione da imporre sulle dimensioni delle matrici in questione è che possano essere moltiplicate, non devono per forza essere quadrate.
Per passare all'associatività nel caso di n matrici basta utilizzare il caso base (A(BC)=(AB)C) e procedere per induzione.
Ti suggerisco di provarci e sbatterci la testa che aiuta, fidati!
Poi se non ci riesci posta pure i tentativi falliti.
Ciao
Leonardo
il problema arriva quando ho la doppia sommatoria con indici diversi!!! ps: non sono molto pratica con le sommatorie!
Sono proprio le proprietà delle doppie sommatorie che servono, in questo caso! 
Comunque ecco tutto...
Date $A \in M_{mn}(K)$, $B \in M_{np}(K)$, $C \in M_{ps}(K)$
si ha $ (AB)C=A(BC) $
DIM
Stabilisco $A = (a_{iz})_{1<=i<=m,1<=z<=n}$, $B = (b_{zj})_{1<=z<=n,1<=j<=p}$, $C = (c_{jk})_{1<=j<=p,1<=k<=s}$
Ho usato gli stessi indici quando varieranno insieme nel prodotto tra matrici.
$((AB)C)_{ik}=(AB)_iC^k= \sum_{j=1}^p(AB)_{ij}c_{jk}= \sum_{j=1}^p(A_iB^j)c_{jk}= \sum_{j=1}^p (\sum_{z=1}^n a_{iz} b_{zj})c_{jk} = $
$ = \sum_{j=1}^p \sum_{z=1}^n a_{iz} b_{zj} c_{jk} = \sum_{z=1}^n \sum_{j=1}^p a_{iz} b_{zj} c_{jk} = $
$\sum_{z=1}^n a_{iz} ( \sum_{j=1}^p b_{zj} c_{jk} ) = \sum_{z=1}^n a_{iz} (B_z C^k) = \sum_{z=1}^n a_{iz} ((BC)_{zk}) = A_i ((BC)^{k}) = (A(BC))_{ik}$
(Con l'apice intendo la colonna, con il pedice la riga e con il doppio pedice l'elemento singolo)
c.d.d.
Fammi sapere se hai problemi.
Ciao
P.S. Molto probabilmente avrò fatto degli errori nel copia-incolla. Se ve ne accorgete ditelo pure.
P.P.S. Ci tengo a precisare che sia la mia dimostrazione che quella di Sergio andrebbero estese per induzione al caso di un numero qualsiasi ($\in NN$) di matrici.
Comunque ecco tutto...
Date $A \in M_{mn}(K)$, $B \in M_{np}(K)$, $C \in M_{ps}(K)$
si ha $ (AB)C=A(BC) $
DIM
Stabilisco $A = (a_{iz})_{1<=i<=m,1<=z<=n}$, $B = (b_{zj})_{1<=z<=n,1<=j<=p}$, $C = (c_{jk})_{1<=j<=p,1<=k<=s}$
Ho usato gli stessi indici quando varieranno insieme nel prodotto tra matrici.
$((AB)C)_{ik}=(AB)_iC^k= \sum_{j=1}^p(AB)_{ij}c_{jk}= \sum_{j=1}^p(A_iB^j)c_{jk}= \sum_{j=1}^p (\sum_{z=1}^n a_{iz} b_{zj})c_{jk} = $
$ = \sum_{j=1}^p \sum_{z=1}^n a_{iz} b_{zj} c_{jk} = \sum_{z=1}^n \sum_{j=1}^p a_{iz} b_{zj} c_{jk} = $
$\sum_{z=1}^n a_{iz} ( \sum_{j=1}^p b_{zj} c_{jk} ) = \sum_{z=1}^n a_{iz} (B_z C^k) = \sum_{z=1}^n a_{iz} ((BC)_{zk}) = A_i ((BC)^{k}) = (A(BC))_{ik}$
(Con l'apice intendo la colonna, con il pedice la riga e con il doppio pedice l'elemento singolo)
c.d.d.
Fammi sapere se hai problemi.
Ciao
P.S. Molto probabilmente avrò fatto degli errori nel copia-incolla. Se ve ne accorgete ditelo pure.
P.P.S. Ci tengo a precisare che sia la mia dimostrazione che quella di Sergio andrebbero estese per induzione al caso di un numero qualsiasi ($\in NN$) di matrici.
scusa l'ignoranza ma non riesco a capire quel B^k..
Intendo la k-esima colonna di B.
ah ok pefetto! grazie..
devo dimostrare le seguenti proprietà del prodotta tra matrici:
$AI=IA=A$
$A0=0A=0$
il mio testo dice che la dimostrazione segue dal fatto che $L_I=id$ e $L_0=0$
dove con $I$ e $_O$ si intendono le matrici identità e la matrice 0 mentre con $id$ si intende l applicazione identità.Ora io non capisco come $L_I=id$ e $L_0=0$ implichi la tesi $AI=IA=A$ , $A0=0A=0$
grazie in anticipo
$AI=IA=A$
$A0=0A=0$
il mio testo dice che la dimostrazione segue dal fatto che $L_I=id$ e $L_0=0$
dove con $I$ e $_O$ si intendono le matrici identità e la matrice 0 mentre con $id$ si intende l applicazione identità.Ora io non capisco come $L_I=id$ e $L_0=0$ implichi la tesi $AI=IA=A$ , $A0=0A=0$
grazie in anticipo
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