Proprietà f lineare

[rocco.g1]

Non so bene se sia un teorema o altro... cmq vorrei avere un chiarimento su questo proposizione:

Siano V e W spazi vettoriali, con V finitamente generato.
Sia B = { v_1 ... v_n } una base di V e siano w_i appartenenti a W.
Esiste un'unica applicazione lineare f: V ->W tale che f(v_i)=w_i.

dim.

x = x_1v_1 + ... + x_nv_n quindi si ponga:

f(x) = x_1w_1 + ... + x_nw_n con f(v_i) = w_i

Il testo della dimostrazione, prima di andare oltre, dice che è immediato vedere che f è lineare... ma perchè ? Cioè già nel passaggio precedente per arrivare a scrivere la seconda relazione si è usata la proprietà lineare della f, qundi f lineare è già per ipotesi... o cosa ?

Prosegue dimostrando che f(x) è unica...

Non ho capito se la linearità la diamo già come ipotesi o la dobbiamo dimostrare... ed in questo caso, come si fa a vederla subito ?

Grazie!

[Sk_Anonymous]

No, la linearita' non e' un'ipotesi, ma f viene lineare per costruzione. Quello che fa il testo e' definire
f(x):=x_1w_1+...+x_nw_n, se x=x_1v_1+...+x_nv_n. In questo modo la f risulta lineare.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[rocco.g1]

ok grazie per il chiarimento Luca!