Proprietà di un sottoinsieme di $RR^2$
Sia $X={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, munito della topologia indotta dalla topologia euclidea. Si dica se $X$ è connesso per archi, si determinino la chiusura e la parte interna di $X$ di $RR^2$, si calcoli $\pi_1(X,x_0)$ in funzione del punto $x_0$ scelto, si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi e si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto.
Abbiamo che $X$ non è connesso per archi poichè se prendo ad esempio $(x,y)$ e $(-x,y)$ con $x,y>0$ e $x^2>y$ non posso connetterli con una funzione continua in quanto $(0,y)notinX$ $AAyinRR$.
Osserviamo che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$, mentre la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y>=0}$, da cui la chiusura di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y}$. Notiamo che la parte interna di $RR\\QQ$ è $∅$ (poichè $QQ$ è denso in $RR$) per cui la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è $∅$, mentre la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è se stesso, per cui la parte interna di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Siccome le due componenti connesse sono simmetriche, da ora in poi (anche per il punto successivo) lavoriamo solo con $Xnn{(x,y)|x>0}$ (i risultati saranno uguali per $Xnn{(x,y)|x<0}$). Sia $x_0inXnn{(x,y)|x>0}$, notiamo intanto che $A={(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}nn{(x,y)|x>0}$ sono convessi e quindi se in particolare prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $A$ oppure $x_0inB$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $B$ allora esso è omotopo al laccio costante. Se invece prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $A$ che in $B$ (oppure analogamente prendiamo $x_0inB$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $B$ che in $A$), sia $x$ il punto in cui $alpha$ entra in $B$ (rispettivamente in $A$), allora il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $B$ (rispettivamente il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $A$) è un laccio di $x$ ma allora è omotopo al laccio costante, per cui $alpha$ è omotopo a un laccio di $x_0$ in $Auu{x}$ (rispettivamente in $B$) che è convesso per cui è omotopo al laccio costante. Per cui $\pi(X,x_0)~={0}$.
Se $x_0inA$ oppure se $x_0=(x,0)$ con $xnotinQQ$ allora mi basta prendere come sistema di intorni connessi $B(x_0,r)$ con $r<=||x_0||$. Mentre se prendo $x_0=(x,y)$ con $xnotinQQ$ e $y!=0$, se considero $B(x_0,r)$ con $r<=|y|$, allora considerando l'aperto $(x,x+r)$ poichè $RR\\QQ$ è denso allora $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x,x+r)$, ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Se invece $r>|y|$ consideriamo l'aperto $(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ per lo stesso motivo di prima $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi è ${(x,0)inRR^2$, tali che $xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Se $x_0in{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è aperto $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)sube{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, ma allora $\bar (B(x_0,r/2))$ è un intorno compatto di $x_0$ in ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$. Sia ora $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$, preso un intorno $U$ di $x_0$ questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ che ha successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, x inQQ$ che non stanno in $U$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $U$ non è chiuso e quindi non può essere compatto. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Non so se sia scritto tutto in maniera giusta e abbastanza rigorosa, perciò se qualcuno vuole correggermi o altro lo invito, grazie.
Abbiamo che $X$ non è connesso per archi poichè se prendo ad esempio $(x,y)$ e $(-x,y)$ con $x,y>0$ e $x^2>y$ non posso connetterli con una funzione continua in quanto $(0,y)notinX$ $AAyinRR$.
Osserviamo che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$, mentre la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y>=0}$, da cui la chiusura di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y}$. Notiamo che la parte interna di $RR\\QQ$ è $∅$ (poichè $QQ$ è denso in $RR$) per cui la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è $∅$, mentre la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è se stesso, per cui la parte interna di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Siccome le due componenti connesse sono simmetriche, da ora in poi (anche per il punto successivo) lavoriamo solo con $Xnn{(x,y)|x>0}$ (i risultati saranno uguali per $Xnn{(x,y)|x<0}$). Sia $x_0inXnn{(x,y)|x>0}$, notiamo intanto che $A={(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}nn{(x,y)|x>0}$ sono convessi e quindi se in particolare prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $A$ oppure $x_0inB$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $B$ allora esso è omotopo al laccio costante. Se invece prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $A$ che in $B$ (oppure analogamente prendiamo $x_0inB$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $B$ che in $A$), sia $x$ il punto in cui $alpha$ entra in $B$ (rispettivamente in $A$), allora il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $B$ (rispettivamente il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $A$) è un laccio di $x$ ma allora è omotopo al laccio costante, per cui $alpha$ è omotopo a un laccio di $x_0$ in $Auu{x}$ (rispettivamente in $B$) che è convesso per cui è omotopo al laccio costante. Per cui $\pi(X,x_0)~={0}$.
Se $x_0inA$ oppure se $x_0=(x,0)$ con $xnotinQQ$ allora mi basta prendere come sistema di intorni connessi $B(x_0,r)$ con $r<=||x_0||$. Mentre se prendo $x_0=(x,y)$ con $xnotinQQ$ e $y!=0$, se considero $B(x_0,r)$ con $r<=|y|$, allora considerando l'aperto $(x,x+r)$ poichè $RR\\QQ$ è denso allora $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x,x+r)$, ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Se invece $r>|y|$ consideriamo l'aperto $(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ per lo stesso motivo di prima $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi è ${(x,0)inRR^2$, tali che $xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Se $x_0in{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è aperto $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)sube{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, ma allora $\bar (B(x_0,r/2))$ è un intorno compatto di $x_0$ in ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$. Sia ora $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$, preso un intorno $U$ di $x_0$ questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ che ha successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, x inQQ$ che non stanno in $U$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $U$ non è chiuso e quindi non può essere compatto. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Non so se sia scritto tutto in maniera giusta e abbastanza rigorosa, perciò se qualcuno vuole correggermi o altro lo invito, grazie.
Risposte
Mi sono scordato di mettere il disegno di $X$, ecco a voi (solo la parte in blu):
Tutto giusto tranne il gruppo fondamentale dato che $A$ e $B$ non sono convessi e qualche errorino/imprecisione in quà e là.
"otta96":
Tutto giusto tranne il gruppo fondamentale dato che $A$ e $B$ non sono convessi
Mi corrego non $B$ ma preso $x_0=(x',y')inB$ l'insieme ${(x',y| y<=0}$ e $A$ non sono convessi? Altrimenti come dovrei ragionare?
"otta96":
e qualche errorino/imprecisione in quà e là.
Mi potresti dire precisamente dove così li correggo, grazie mille.
Ad esempio quando fai la parte interna la fai separata ma la parte interna di un unione non è l'unione della parte interna, poi a volte prendi degli intorni che non lo sono ma bisognerebbe intersecarli con $X$.
$A$ non è convesso, mentra l'altro insieme sì ma non si capisce cosa poi te ne potresti fare.
$A$ non è convesso, mentra l'altro insieme sì ma non si capisce cosa poi te ne potresti fare.
"otta96":
Ad esempio quando fai la parte interna la fai separata ma la parte interna di un unione non è l'unione della parte interna
Vabbe ${(x,y)inRR^2 $tali che $ x^2>y>0} $ è il piu grande aperto in $X$ poichè se prendi un punto in ${(x,y)inRR^2 $ tali che $ y<=0, xnotinQQ}$ non esiste un intorno di quel punto tutto contenuto in un sottoinsieme di $X$. La chiusura come l'ho spiegata invece va bene?
"otta96":
poi a volte prendi degli intorni che non lo sono ma bisognerebbe intersecarli con $X$.
Dimmi quali intorni così correggo.
"otta96":
$A$ non è convesso, mentra l'altro insieme sì ma non si capisce cosa poi te ne potresti fare.
Come mai $A$ non è convesso? E quindi come posso fare a trovare il gruppo fondamentale allora?
"andreadel1988":
Vabbe ${(x,y)inRR^2 $tali che $ x^2>y>0} $ è il piu grande aperto in $X$ poichè se prendi un punto in ${(x,y)inRR^2 $ tali che $ y<=0, xnotinQQ}$ non esiste un intorno di quel punto tutto contenuto in un sottoinsieme di $X$. La chiusura come l'ho spiegata invece va bene?
Tutto bene.
"andreadel1988":
Dimmi quali intorni così correggo.
Sono troppi, tutti quelli che non hai la garanzia che sono inclusi in $X$.
"andreadel1988":
Come mai $A$ non è convesso? E quindi come posso fare a trovare il gruppo fondamentale allora?
Guardalo (comunque nel disegno le linea $y=x^2$ non è disegnata molto bene).
Come potrei fare allora per trovare il gruppo fondamentale?
Ok si mi son fatto un disegno della parabola su geogebra ed effettivamente presi questi due punti fuori da essa
non sono si legano con un segmento:
non sono si legano con un segmento:
Il problema è che non posso neanche usare Van Kampen per trovare il gruppo fondamentale poichè non si trovano due aperti di $Xnn{(x,y)|x>0}$ la cui unione fa $Xnn{(x,y)|x>0}$... Intuitivamente mi verrebbe da dire che $\pi_1(Xnn{(x,y)|x>0})~={0}$ ma non saprei come mostrarlo rigorosamente.
Puoi fare così: considera un laccio $\alpha$ su un punto in $A$, considera ogni sottoinsieme del tipo $\alpha^(-1)({x}\times(-\infty,0])$ con $x\notinQQ$. Di ognuno di questi insiemi (che sono chiusi) consideri la componente connessa, che sarà un intervallo limitato e chiuso, quindi puoi sostutuire quel tratto con uno omotopo che non scende e resta costante in $(x,0)$.
A questo punto, fatta questa cosa per ogni $x$ di quel tipo hai un laccio $\alpha'$ che ha immagine compatta e (quasi) inclusa in $A$ (precisamente in $Xnn(0,+\infty)\times[0,+\infty)$, chiamiamolo $C$), quindi $EEM=maxp_x(\alpha'(I))$ con $I=[0,1]$ e $p_x$ proiezione sull'asse $x$.
A questo punto considera $v=(max{M,2},1)$; per costruzione ogni segmento che congiunge $v$ con ogni punto dell'immagine di $\alpha'$. A questo punto dovresti riuscire a concludere.
A questo punto, fatta questa cosa per ogni $x$ di quel tipo hai un laccio $\alpha'$ che ha immagine compatta e (quasi) inclusa in $A$ (precisamente in $Xnn(0,+\infty)\times[0,+\infty)$, chiamiamolo $C$), quindi $EEM=maxp_x(\alpha'(I))$ con $I=[0,1]$ e $p_x$ proiezione sull'asse $x$.
A questo punto considera $v=(max{M,2},1)$; per costruzione ogni segmento che congiunge $v$ con ogni punto dell'immagine di $\alpha'$. A questo punto dovresti riuscire a concludere.
"otta96":
Puoi fare così: considera un laccio $\alpha$ su un punto in $A$, considera ogni sottoinsieme del tipo $\alpha^(-1)({x}\times(-\infty,0])$ con $x\notinQQ$. Di ognuno di questi insiemi (che sono chiusi) consideri la componente connessa, che sarà un intervallo limitato e chiuso, quindi puoi sostutuire quel tratto con uno omotopo che non scende e resta costante in $(x,0)$.
Praticamente questa parte è come quella che avevo fatto io quando dicevo di un cammino in $A$ e in $B$, ma applicata agli insiemi ${x}\times(-\infty,0]$
"otta96":
A questo punto considera $v=(max{M,2},1)$; per costruzione ogni segmento che congiunge $v$ con ogni punto dell'immagine di $\alpha'$. A questo punto dovresti riuscire a concludere.
Aspetta ma sei sicuro che il punto $v=(max{M,2},1)$ e ogni punto del laccio $alpha'$ siano congiungibili con un segmento? Io ho considerato questa situazione dove $alpha'$ era un laccio che si avvicinava a zero e $v=(2,1)$, però in teoria il punto più vicino a zero del laccio e $v$ non mi sembrano congiungibili con un segmento...
In effetti quello non funziona, però sempre per lo stesso motivo $EEm=minp_x(\alpha'(I))$. A questo punto invece di quel punto, se prendi $u=(M,m^2)$ funziona.
"otta96":
. A questo punto invece di quel punto, se prendi $u=(M,m^2)$ funziona.
Con $u=(M,0)$ non potrebbe anche funzionare?
No perchè non sai se appartiene all'insieme e inoltre altri punti che stanno sull'asse $x$ non li potresti congiungere con un segmento.
"otta96":
No perchè non sai se appartiene all'insieme e inoltre altri punti che stanno sull'asse $x$ non li potresti congiungere con un segmento.
Ah si è vero che $M$ può stare in $QQ$. Ma come mai con $u=(M,m^2)$ funziona (c'è l'idea intuitiva che mi viene in mente è che con $m^2$ riesci a congiungerlo con i punti vicino a $0$ mentre con $M$ riesci a congiungerlo con i punti punti lontani da $0$, ma come lo dimostreresti rigorosamente?), e poi concluderesti col fatto che restringi tutto $alpha$ ad $u$ e poi siccome $u$ e $x_0$ sono congiungibili con un segmento lo restringi a $x_0$ in modo da ottenere il cammino costante in $x_0$? (non so bene come scriverlo)
L'idea l'hai capita, fai un po' di sforzo pensando a come formalizzarla.
"otta96":
L'idea l'hai capita.
Quali delle due? Quella di $(M,m^2)$ oppure quella di restringere tutto $alpha$ ad $u$ e poi siccome $u$ e $x_0$ sono congiungibili con un segmento lo restringi a $x_0$ in modo da ottenere il cammino costante in $x_0$? (cosi le scrivo)
Tutte e due.
Solo una domanda, quando vado a restringere $alpha$ ad $u$ devo restringere anche $x_0$ oppure no? (Poi ovvimanete da $u$ passo a $x_0$)
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