Proprietà di un sottoinsieme di $RR^2$
Sia $X={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, munito della topologia indotta dalla topologia euclidea. Si dica se $X$ è connesso per archi, si determinino la chiusura e la parte interna di $X$ di $RR^2$, si calcoli $\pi_1(X,x_0)$ in funzione del punto $x_0$ scelto, si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi e si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto.
Abbiamo che $X$ non è connesso per archi poichè se prendo ad esempio $(x,y)$ e $(-x,y)$ con $x,y>0$ e $x^2>y$ non posso connetterli con una funzione continua in quanto $(0,y)notinX$ $AAyinRR$.
Osserviamo che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$, mentre la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y>=0}$, da cui la chiusura di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y}$. Notiamo che la parte interna di $RR\\QQ$ è $∅$ (poichè $QQ$ è denso in $RR$) per cui la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è $∅$, mentre la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è se stesso, per cui la parte interna di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Siccome le due componenti connesse sono simmetriche, da ora in poi (anche per il punto successivo) lavoriamo solo con $Xnn{(x,y)|x>0}$ (i risultati saranno uguali per $Xnn{(x,y)|x<0}$). Sia $x_0inXnn{(x,y)|x>0}$, notiamo intanto che $A={(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}nn{(x,y)|x>0}$ sono convessi e quindi se in particolare prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $A$ oppure $x_0inB$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $B$ allora esso è omotopo al laccio costante. Se invece prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $A$ che in $B$ (oppure analogamente prendiamo $x_0inB$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $B$ che in $A$), sia $x$ il punto in cui $alpha$ entra in $B$ (rispettivamente in $A$), allora il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $B$ (rispettivamente il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $A$) è un laccio di $x$ ma allora è omotopo al laccio costante, per cui $alpha$ è omotopo a un laccio di $x_0$ in $Auu{x}$ (rispettivamente in $B$) che è convesso per cui è omotopo al laccio costante. Per cui $\pi(X,x_0)~={0}$.
Se $x_0inA$ oppure se $x_0=(x,0)$ con $xnotinQQ$ allora mi basta prendere come sistema di intorni connessi $B(x_0,r)$ con $r<=||x_0||$. Mentre se prendo $x_0=(x,y)$ con $xnotinQQ$ e $y!=0$, se considero $B(x_0,r)$ con $r<=|y|$, allora considerando l'aperto $(x,x+r)$ poichè $RR\\QQ$ è denso allora $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x,x+r)$, ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Se invece $r>|y|$ consideriamo l'aperto $(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ per lo stesso motivo di prima $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi è ${(x,0)inRR^2$, tali che $xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Se $x_0in{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è aperto $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)sube{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, ma allora $\bar (B(x_0,r/2))$ è un intorno compatto di $x_0$ in ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$. Sia ora $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$, preso un intorno $U$ di $x_0$ questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ che ha successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, x inQQ$ che non stanno in $U$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $U$ non è chiuso e quindi non può essere compatto. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Non so se sia scritto tutto in maniera giusta e abbastanza rigorosa, perciò se qualcuno vuole correggermi o altro lo invito, grazie.
Abbiamo che $X$ non è connesso per archi poichè se prendo ad esempio $(x,y)$ e $(-x,y)$ con $x,y>0$ e $x^2>y$ non posso connetterli con una funzione continua in quanto $(0,y)notinX$ $AAyinRR$.
Osserviamo che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$, mentre la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y>=0}$, da cui la chiusura di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y}$. Notiamo che la parte interna di $RR\\QQ$ è $∅$ (poichè $QQ$ è denso in $RR$) per cui la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è $∅$, mentre la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è se stesso, per cui la parte interna di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Siccome le due componenti connesse sono simmetriche, da ora in poi (anche per il punto successivo) lavoriamo solo con $Xnn{(x,y)|x>0}$ (i risultati saranno uguali per $Xnn{(x,y)|x<0}$). Sia $x_0inXnn{(x,y)|x>0}$, notiamo intanto che $A={(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}nn{(x,y)|x>0}$ sono convessi e quindi se in particolare prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $A$ oppure $x_0inB$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $B$ allora esso è omotopo al laccio costante. Se invece prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $A$ che in $B$ (oppure analogamente prendiamo $x_0inB$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $B$ che in $A$), sia $x$ il punto in cui $alpha$ entra in $B$ (rispettivamente in $A$), allora il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $B$ (rispettivamente il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $A$) è un laccio di $x$ ma allora è omotopo al laccio costante, per cui $alpha$ è omotopo a un laccio di $x_0$ in $Auu{x}$ (rispettivamente in $B$) che è convesso per cui è omotopo al laccio costante. Per cui $\pi(X,x_0)~={0}$.
Se $x_0inA$ oppure se $x_0=(x,0)$ con $xnotinQQ$ allora mi basta prendere come sistema di intorni connessi $B(x_0,r)$ con $r<=||x_0||$. Mentre se prendo $x_0=(x,y)$ con $xnotinQQ$ e $y!=0$, se considero $B(x_0,r)$ con $r<=|y|$, allora considerando l'aperto $(x,x+r)$ poichè $RR\\QQ$ è denso allora $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x,x+r)$, ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Se invece $r>|y|$ consideriamo l'aperto $(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ per lo stesso motivo di prima $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi è ${(x,0)inRR^2$, tali che $xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Se $x_0in{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è aperto $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)sube{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, ma allora $\bar (B(x_0,r/2))$ è un intorno compatto di $x_0$ in ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$. Sia ora $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$, preso un intorno $U$ di $x_0$ questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ che ha successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, x inQQ$ che non stanno in $U$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $U$ non è chiuso e quindi non può essere compatto. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Non so se sia scritto tutto in maniera giusta e abbastanza rigorosa, perciò se qualcuno vuole correggermi o altro lo invito, grazie.
Risposte
Il procedimento che ti ho descritto io mostra che il laccio costante in $u$ è omotopo a quello dipartenza, poi sta a te dimostrare che è omotopo a quello costante in $x_0$ sfruttando che puoi collegare questi 2 punti.
"otta96":
Il procedimento che ti ho descritto io mostra che il laccio costante in $u$ è omotopo a quello dipartenza, poi sta a te dimostrare che è omotopo a quello costante in $x_0$ sfruttando che puoi collegare questi 2 punti.
Il problema è che $alpha$ e il cammino costante in $u$ sono omotope come funzioni continue (e non come lacci o cammini) stessa cosa fra il cammino costante in $u$ e il cammino costante in $x_0$, per cui mi viene (attraverso la giunzione delle due omotopie) che $alpha$ e il cammino costante in $x_0$ sono omotope come funzioni continue e non come lacci, poichè presa $F(t,s)$ l'omotopia così trovata tra $alpha$ e il cammino costante in $x_0$ non è detto che valga che $F(0,s)=F(1,s)=x_0$ che è la condizione mancante affinchè l'omotopia sia un omotopia tra lacci.
Eh, i lacci possono anche essere "a pezzi".
Allora non sono ancora riuscito a trovare l'omotopia tra $alpha$ e il cammino costante $x_0$ (non ho avuto molto tempo, spero riuscirci) però usando quello che mi hai detto ho provato a concludere in un altro modo. Consideriamo l'insieme $Y={(x,y)inRR^2| m<=x<=M, x^2>y>0}uu{(x,0)inRR^2| m<=x<=M, xnotinQQ}$. Mostriamo che questo insieme è stellato con origine $(M,m^2)$. Sia $(x,y)inY$, i punti del segmento che congiunge $(x,y)$ con $(M,m^2)$ sono della forma $(x+t(M-x),y+t(m^2-y))$ con $tin[0,1]$.Abbiamo che $x+t(M-x)<=x+M-x=M$, mentre si ha $x+t(M-x)>=m+t(M-x)>=m$. Se $y>=m^2$ allora $(x+t(M-x))^2>=x^2>y>=y+t(m^2-y)>=m^2>0$ per cui $(x+t(M-x),y+t(m^2-y))inY$. Se $y=x^2>=m^2>=y+t(m^2-y)$ e osserviamo che l'ultima disugualianza è un ugualianza se e solo se $t=1$ da cui $(x+t(M-x),y+t(m^2-y))=(M,m^2)inY$ (poichè il laccio $alpha$ è supposto non costante allora $mm^2$). Ma allora per ogni $tin[0,1[$ si ha $(x+t(M-x))^2>y+t(m^2-y)>=0$. In particolare $y+t(m^2-y)=0$ se e solo se $t=0$ (e $y=0$ poichè $y+t(m^2-y)$ è somma di due termini maggiori o uguali a zero) ma allora $(x+t(M-x),y+t(m^2-y))=(x,y)inY$ per come l'abbiamo preso. Si ha in conclusione che per ogni $tin]0,1[$ si ha $(x+t(M-x))^2>y+t(m^2-y)>0$ per cui $(x+t(M-x),y+t(m^2-y))inY$. Quindi $Y$ è stellato, per cui è contrabile e quindi semplicemente connesso.
Può andar bene?
Può andar bene?
Non si riesce a trovare tipo uno spazio topologico omotopo a ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e di cui si conosce il gruppo fondamentale? Che ne so ad esempio ${(x,y)inRR^2| x>y>0}$, oppure a retrarre per deformazione ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$?
$Y$ non è stellato, i punti con $y<0$ non puoi collegarli con un segmento con $(M,m^2)$ a meno che non sia $x=M$.
Si funziona.
"andreadel1988":
Non si riesce a trovare tipo uno spazio topologico omotopo a $ {(x,y)inRR^2| x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0} $ e di cui si conosce il gruppo fondamentale? Che ne so ad esempio $ {(x,y)inRR^2| x>y>0} $
Si funziona.
"otta96":
$Y$ non è stellato, i punti con $y<0$ non puoi collegarli con un segmento con $(M,m^2)$ a meno che non sia $x=M$.
Scusami ma $Y$ non contiene punti in cui $y<0$...
"otta96":
Si funziona.
Ma proprio con $ {(x,y)inRR^2| x>y>0} $ oppure c'è un altro insieme?
Ah, avevo letto male il secondo insieme dell'unione, controllerò la dimostrazione poi.
Proprio quell'insieme.
Proprio quell'insieme.
"otta96":
Ah, avevo letto male il secondo insieme dell'unione, controllerò la dimostrazione poi.
Ok grazie mille
"otta96":
Proprio quell'insieme.
Ma devo mostrare che effettivamente sono omotopi?
"otta96":
Ah, avevo letto male il secondo insieme dell'unione, controllerò la dimostrazione poi.
Ok grazie mille
"otta96":
Proprio quell'insieme.
Ma devo mostrare che effettivamente sono omotopi?
La dimostrazione va bene, e si, devi effettivamente dimostrarlo 
"otta96":
si, devi effettivamente dimostrarlo
Poniamo $A={(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2| x>y>0}$ (oppure $A={(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x<0}$ e $B={(x,y)inRR^2| -x>y>0}$) e consideriamo le due funzioni $f:A->B$ e $g:B->A$ definite come $f(x,y)=(x,xy)$ e $g(x,y)=(x,y/x)$ (nell'altra scelta di $A$ e $B$ sono invece definite come $f(x,y)=(x,-xy)$ e $g(x,y)=(x,-y/x)$), si ha che $f\circg=Id_{B}$ e $g\circf=Id_{A}$, per cui $A$ e $B$ sono omotopi. Dimmi se va bene così provo a dare una conclusione abbastanza semplice del gruppo fondamentale, grazie.
Ma perchè te lo devo dire io se va bene? Ad un certo punto dovrai anche riuscire a fare da solo, se non sai su cosa appigliarti, considera gli appigli fondamentali le definizioni, se torna come dice la definizione va bene.
"otta96":
Ma perchè te lo devo dire io se va bene? Ad un certo punto dovrai anche riuscire a fare da solo, se non sai su cosa appigliarti, considera gli appigli fondamentali le definizioni, se torna come dice la definizione va bene.
Ok, scusami. Comunque la mia idea finale è questa:
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Fissato un $xnotinQQ$ l'insieme ${(x,y)inRR^2| y<=0}$ è contrabile (poichè convesso) al punto $(x,0)$, per cui l'insieme ${(x,y)inRR^2| y<=0, xnotinQQ}$ è omotopo a ${(x,0)inRR^2| xnotinQQ}$. Sia ora ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x>0}$ abbiamo che questo è omotopo a ${(x,y)inRR^2| x>y>0}$ (mentre ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x<0}$ è omotopo a ${(x,y)inRR^2| -x>y>0}$). Per cui $Xnn{(x,y)|x>0}$ è omotopo a $Y={(x,y)inRR^2| x>y>0}uu{(x,0)inRR^2| xnotinQQ, x>0}$ (mentre $Xnn{(x,y)|x<0}$ è omotopo a $Z={(x,y)inRR^2| -x>y>0}uu{(x,0)inRR^2| xnotinQQ, x<0}$). Abbiamo che $Y$ è stellato con origine un qualunque punto dell'insieme ${(x,y)inRR^2| x>y>0}$ (mentre $Z$ è stellato con origine un qualunque punto dell'insieme ${(x,y)inRR^2| -x>y>0}$), perciò $Y$ e $Z$ sono contrabili e quindi semplicemente connessi. Ma allora $\pi_1(Xnn{(x,y)|x<0})~={0}$ e $\pi_1(Xnn{(x,y)|x>0})~={0}$.
Mi sembra abbastanza semplice e diretta come dimostrazione.
"andreadel1988":
Sia $X={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, munito della topologia indotta dalla topologia euclidea. Si dica se $X$ è connesso per archi, si determinino la chiusura e la parte interna di $X$ di $RR^2$, si calcoli $\pi_1(X,x_0)$ in funzione del punto $x_0$ scelto, si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi e si determini l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto.
Abbiamo che $X$ non è connesso per archi poichè se prendo ad esempio $(x,y)$ e $(-x,y)$ con $x,y>0$ e $x^2>y$ non posso connetterli con una funzione continua in quanto $(0,y)notinX$ $AAyinRR$.
Osserviamo che siccome $RR\\QQ$ è denso in $RR$ allora la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$, mentre la chiusura di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y>=0}$, da cui la chiusura di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>=y}$. Notiamo che la parte interna di $RR\\QQ$ è $∅$ (poichè $QQ$ è denso in $RR$) per cui la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è $∅$, mentre la parte interna di ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è se stesso, per cui la parte interna di $X$ è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Siccome le due componenti connesse sono simmetriche, da ora in poi (anche per il punto successivo) lavoriamo solo con $Xnn{(x,y)|x>0}$ (i risultati saranno uguali per $Xnn{(x,y)|x<0}$). Sia $x_0inXnn{(x,y)|x>0}$, notiamo intanto che $A={(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}nn{(x,y)|x>0}$ e $B={(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}nn{(x,y)|x>0}$ sono convessi e quindi se in particolare prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $A$ oppure $x_0inB$ e un laccio $alpha$ tutto contenuto in $B$ allora esso è omotopo al laccio costante. Se invece prendiamo $x_0inA$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $A$ che in $B$ (oppure analogamente prendiamo $x_0inB$ e un laccio $alpha$ che contenuto sia in $B$ che in $A$), sia $x$ il punto in cui $alpha$ entra in $B$ (rispettivamente in $A$), allora il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $B$ (rispettivamente il cammino uguale alla restrizione di $alpha$ in $A$) è un laccio di $x$ ma allora è omotopo al laccio costante, per cui $alpha$ è omotopo a un laccio di $x_0$ in $Auu{x}$ (rispettivamente in $B$) che è convesso per cui è omotopo al laccio costante. Per cui $\pi(X,x_0)~={0}$.
Se $x_0inA$ oppure se $x_0=(x,0)$ con $xnotinQQ$ allora mi basta prendere come sistema di intorni connessi $B(x_0,r)$ con $r<=||x_0||$. Mentre se prendo $x_0=(x,y)$ con $xnotinQQ$ e $y!=0$, se considero $B(x_0,r)$ con $r<=|y|$, allora considerando l'aperto $(x,x+r)$ poichè $RR\\QQ$ è denso allora $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x,x+r)$, ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Se invece $r>|y|$ consideriamo l'aperto $(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ per lo stesso motivo di prima $EEx'notinQQ$ tale che $x'in(x+sqrt(r^2-y^2),x+r)$ ma allora ${(x',y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$ non è vuoto e non è connesso per archi con ${(x,y)$, tale che $y<=0}nnB(x_0,r)$. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un sistema fondamentale di intorni in $X$ connessi è ${(x,0)inRR^2$, tali che $xnotinQQ}uu{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Se $x_0in{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$ è aperto $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)sube{(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$, ma allora $\bar (B(x_0,r/2))$ è un intorno compatto di $x_0$ in ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$. Sia ora $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$, preso un intorno $U$ di $x_0$ questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, xnotinQQ}$ che ha successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$, tali che $y<=0, x inQQ$ che non stanno in $U$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $U$ non è chiuso e quindi non può essere compatto. Per cui l'insieme dei punti di $X$ aventi un intorno in $X$ compatto è ${(x,y)inRR^2$, tali che $x^2>y>0}$.
Non so se sia scritto tutto in maniera giusta e abbastanza rigorosa, perciò se qualcuno vuole correggermi o altro lo invito, grazie.
Oltre alla parte interna (che ho corretto nel messaggio che mi hai scritto dopo) , agli intorni che devo intersecare con $X$ e il gruppo fondamentale che spero aver dimostrato bene con l'ultimo messaggio che ho scritto, il resto è tutto apposto (ovvero non ci sono errori di imprecisione o altro come mi stavi dicendo)?
L'ultima parte l' ho modificata così:
Sia $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2|y<=0, xnotinQQ}$, preso $U$ intorno di $x_0$ in $RR^2$ (se $U'$ è un intorno di $x_0$ in $X$ allora $EEU$ intorno di $x_0$ in $RR^2$ tale che $U'=UnnX$), questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme non vuoto di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ (infatti sia $A$ l'aperto che contiene $x_0$ e che è contenuto in $U$ allora $Ann{(x,y)inRR^2|y<=0}$ è un aperto di ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ e per densità di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ in ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ si ha che $UsupeAsupe{(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}nnA!=Ø$ e ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}nnA$ è un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$), per cui $U$ contiene successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$ tali che $y<=0,xnotinQQ$ e questi elementi non stanno in $UnnX$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $UnnX$ non è chiuso e dunque non può essere compatto.
Spero vada tutto bene e ditemi se c'è qualcosa di sbagliato, grazie.
Sia $x_0=(x,y)in{(x,y)inRR^2|y<=0, xnotinQQ}$, preso $U$ intorno di $x_0$ in $RR^2$ (se $U'$ è un intorno di $x_0$ in $X$ allora $EEU$ intorno di $x_0$ in $RR^2$ tale che $U'=UnnX$), questo contiene un aperto che contiene $x_0$ e siccome ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ è denso in ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ allora $U$ contiene un sottoinsieme non vuoto di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ (infatti sia $A$ l'aperto che contiene $x_0$ e che è contenuto in $U$ allora $Ann{(x,y)inRR^2|y<=0}$ è un aperto di ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ e per densità di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$ in ${(x,y)inRR^2|y<=0}$ si ha che $UsupeAsupe{(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}nnA!=Ø$ e ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}nnA$ è un sottoinsieme di ${(x,y)inRR^2|y>=0,xnotinQQ}$), per cui $U$ contiene successioni che convergono a elementi della forma $(x,y)inRR^2$ tali che $y<=0,xnotinQQ$ e questi elementi non stanno in $UnnX$ (dato che non stanno in $X$) e quindi $UnnX$ non è chiuso e dunque non può essere compatto.
Spero vada tutto bene e ditemi se c'è qualcosa di sbagliato, grazie.
"andreadel1988":
Le due componenti connesse per archi di $X$ sono $Xnn{(x,y)|x<0}$ e $Xnn{(x,y)|x>0}$. Fissato un $xnotinQQ$ l'insieme ${(x,y)inRR^2| y<=0}$ è contrabile (poichè convesso) al punto $(x,0)$, per cui l'insieme ${(x,y)inRR^2| y<=0, xnotinQQ}$ è omotopo a ${(x,0)inRR^2| xnotinQQ}$. Sia ora ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x>0}$ abbiamo che questo è omotopo a ${(x,y)inRR^2| x>y>0}$ (mentre ${(x,y)inRR^2| x^2>y>0, x<0}$ è omotopo a ${(x,y)inRR^2| -x>y>0}$). Per cui $Xnn{(x,y)|x>0}$ è omotopo a $Y={(x,y)inRR^2| x>y>0}uu{(x,0)inRR^2| xnotinQQ, x>0}$ (mentre $Xnn{(x,y)|x<0}$ è omotopo a $Z={(x,y)inRR^2| -x>y>0}uu{(x,0)inRR^2| xnotinQQ, x<0}$). Abbiamo che $Y$ è stellato con origine un qualunque punto dell'insieme ${(x,y)inRR^2| x>y>0}$ (mentre $Z$ è stellato con origine un qualunque punto dell'insieme ${(x,y)inRR^2| -x>y>0}$), perciò $Y$ e $Z$ sono contrabili e quindi semplicemente connessi. Ma allora $\pi_1(Xnn{(x,y)|x<0})~={0}$ e $\pi_1(Xnn{(x,y)|x>0})~={0}$.
Mi sembra abbastanza semplice e diretta come dimostrazione.
Va bene però non hai dimostrato che gli spazi sono omotopicamente equivalenti.
"otta96":
Va bene però non hai dimostrato che gli spazi sono omotopicamente equivalenti.
Va be avendo dimostrato che i vari pezzi che compongono gli spazi sono omotopi tra loro lo sono anche gli spazi e prendi come funzione quella definita a tratti sui vari pezzi degli spazi tipo.
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