Proprietà degli embedding
\(\newcommand{\mathscr}[1]{\mathcal{#1}}\) Siano \( (X,\mathscr O_X) \) e \( (Y,\mathscr O_Y) \) due spazi topologici (le \( \mathscr O_X \) e \( \mathscr O_Y \) sono le topologie). Definisco un embedding di \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \) come una funzione di insiemi \( \iota\colon Y\to X \) iniettiva tale che la sua restrizione in codominio a \( \iota_*(Y) = \{\iota(y)\in X : y\in Y\} \) sia un omeomorfismo \( (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) (per familiarizzare con esse, uso le stesse notazioni del libro di topologia, nelle quali \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) non è nient'altro che "lo spazio \( \iota_*(Y) \)" con la topologia di sottospazio \( \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}} := \{U\cap \iota_*(Y) : U\in \mathscr O_X \} \); chi mi risponde usando le stesse notazioni vince 6 CFU).
Devo provare che \( \iota\colon Y\to X \) è un embedding se e solo se, per ogni spazio \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni funzione di insiemi \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è una funzione continua \( g\colon (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \) se e solo se la funzione composta \( \iota\circ g \) è una funzione continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \).
È un esercizio formale che so fare ma non ho voglia di fare, quindi mi sono incasinato.
Facciamo che \( \iota \) embeddi \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \). Prendo una \( g\colon Z\to Y \) (con \( (Z,\mathscr O_Z) \) spazio qualsiasi ecc...), e suppongo che la composta \( \iota\circ g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \). L'idea è: prendo un aperto \( U \) di \( (Y,\mathscr O_Y) \); faccio saltare fuori un aperto di \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) usando il fatto che l'inversa di \( \iota\colon (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) è continua; quest'ultimo insieme si scrive come intersezione \( V\cap \iota_*(Y) \) dove \( V \) è un aperto di \( X \), e quindi ritorno \( V \) in \( Z \) prendendone la controimmagine mediante \( \iota\circ g \) in modo da ottenere un aperto; infine mostro che questa controimmagine è proprio \( g^*(U) \). È giusto?
Se, invece, vale che per ogni \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni \( g\colon Z\to Y \) tra insiemi il fatto che \( \iota\circ g \) sia continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \) implica che anche \( g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \), non mi basta prendere \( (Z,\mathscr O_Z) = (\iota_*(Y), \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) e \( g\colon \iota_*(Y)\to Y \) che mappa \( x\mapsto \iota^{-1}(y) \) (ricordo che \( \iota\colon Y\to X \) è iniettiva per ipotesi, quindi ha senso quello che scrivo)?
Devo provare che \( \iota\colon Y\to X \) è un embedding se e solo se, per ogni spazio \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni funzione di insiemi \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è una funzione continua \( g\colon (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \) se e solo se la funzione composta \( \iota\circ g \) è una funzione continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \).
È un esercizio formale che so fare ma non ho voglia di fare, quindi mi sono incasinato.
Facciamo che \( \iota \) embeddi \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \). Prendo una \( g\colon Z\to Y \) (con \( (Z,\mathscr O_Z) \) spazio qualsiasi ecc...), e suppongo che la composta \( \iota\circ g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \). L'idea è: prendo un aperto \( U \) di \( (Y,\mathscr O_Y) \); faccio saltare fuori un aperto di \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) usando il fatto che l'inversa di \( \iota\colon (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) è continua; quest'ultimo insieme si scrive come intersezione \( V\cap \iota_*(Y) \) dove \( V \) è un aperto di \( X \), e quindi ritorno \( V \) in \( Z \) prendendone la controimmagine mediante \( \iota\circ g \) in modo da ottenere un aperto; infine mostro che questa controimmagine è proprio \( g^*(U) \). È giusto?
Se, invece, vale che per ogni \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni \( g\colon Z\to Y \) tra insiemi il fatto che \( \iota\circ g \) sia continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \) implica che anche \( g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \), non mi basta prendere \( (Z,\mathscr O_Z) = (\iota_*(Y), \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) e \( g\colon \iota_*(Y)\to Y \) che mappa \( x\mapsto \iota^{-1}(y) \) (ricordo che \( \iota\colon Y\to X \) è iniettiva per ipotesi, quindi ha senso quello che scrivo)?
Risposte
Perché assumiamo che sia omeomorfismo?Perché sono un idiota: volevo scrivere scrivere funzione continua.
NotazioniSì, esatto. Quella cosa che hai detto su \( \iota^{-1} \) è vera, ma -se non mi sfugge nulla- è davvero una pignoleria.
Pensavo che l'altra direzione fosse immediata ma vedo che hai scritto un papiro :o
Leggo domani. Grazie!
"marco2132k":Sbaglio o ci si è confusi tra dominio e codominio?
\(\newcommand{\mathscr}[1]{\mathcal{#1}}\) [...] una funzione di insiemi \( \iota\colon X\to Y \) iniettiva tale che la sua restrizione in codominio a \( \iota_*(Y) = \{\iota(y) : y\in Y\} \) [...] nelle quali \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) non è nient'altro che "lo spazio \( \iota_*(Y) \)" con la topologia di sottospazio \( \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}} := \{U\cap \iota_*(Y) : U\in \mathscr O_X \} \) [...]
Cioè: non dovrebbe essere \(\displaystyle\mathscr{O}_{Y|\iota_{*}(Y)}=\{U\cap\iota_{*}(Y):U\in\mathscr{O}_Y\}\)?
La funzione \( \iota \) deve andare da \( Y \) a \( X \). Mi dev'essere venuto automatico scrivere "\( X\to Y \)" ahah.
Corretto il post di apertura...
...ed è banale affermare che se \(\iota:Y\to X\) (con topologie fissate) è un embedding e \(g:Z\to Y\) è una qualsiasi funzione continua, allora \(\iota\circ g\) è una funzione continua!
Addendum: viceversa, se per ogni \(g\) come sopra sai che \(\iota\circ g\) è continua, allora basta scegliere \((Z,\mathcal{T}_Z)=(Y,\mathcal{T}_Y)\) e \(g=Id_Y\) ed ottieni gratis che \(\iota\) è continua!
...ed è banale affermare che se \(\iota:Y\to X\) (con topologie fissate) è un embedding e \(g:Z\to Y\) è una qualsiasi funzione continua, allora \(\iota\circ g\) è una funzione continua!
Addendum: viceversa, se per ogni \(g\) come sopra sai che \(\iota\circ g\) è continua, allora basta scegliere \((Z,\mathcal{T}_Z)=(Y,\mathcal{T}_Y)\) e \(g=Id_Y\) ed ottieni gratis che \(\iota\) è continua!
Siccome essenzialmente non ho una vita volevo un attimo riprovare a fare ordine su queste cose.
Ricordo com'era più o meno la storia.
uno. Dato uno spazio topologico \( (X,\tau_X) \) e un sottoinsieme \( A\subset X \), si introduce la topologia di sottospazio su \( A \) come la topologia più grezza che rende l'inclusione canonica \( \iota^A\colon A\to X \) continua. Questa topologia ho deciso di denotarla con \( \tau_X{\restriction_A} \); si verifica subito che valgono le uguaglianze
\[
\tau_X{\restriction_A} = \{\iota^*(U) : U\in \tau_X\} = \{A\cap U : U\in \tau_X\}\text{.}
\]
due/a. Successivamente si dimostra ("con le mani") che, dato lo spazio \( (X,\tau_X) \) e un suo sottoinsieme \( A \), allora per ogni spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) e per ogni funzione insiemistica \( f\colon Y\to X \) tale che \( f_*(Y)\subset A \), si ha che \( f \) è continua da \( (Y,\tau_Y) \) a \( (X,\tau_X) \) se e solo se la restrizione \( f{\restriction^{f_*(Y)}}\colon Y\to f_*(Y) \) è continua come funzione di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \).
due/b. Dal fatto precedente discende poi che[nota]Di fatto, le affermazioni sono equivalenti.[/nota], per ogni spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) e per ogni funzione insiemistica \( f\colon Y\to A \), si ha che \( f \) è continua da \( (Y,\tau_Y) \) a \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \) se e solo se la composta \( \iota^A\circ f \) è continua come funzione di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (X,\tau_X) \), dove \( \iota^A\colon A\to X \) è l'inclusione canonica.
tre. Infine si introduce la nozione di embedding di uno spazio \( (Y,\tau_Y) \) nello spazio \( (X,\tau_X) \): un embedding è una funzione insiemistica iniettiva \( f\colon Y\to X \) tale che la (co)restrizione di \( f \) all'immagine
\[
f{\restriction^{f_*(Y)}}\colon Y\to f_*(Y)
\] e l'inversa di questa
\[
{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}\colon f_*(Y)\to Y
\] siano funzioni continue quando \( f_*(Y) \) è equipaggiato con la topologia di sottospazio.
Proposizione. Quello che volevo dimostrare è che, dati due spazi topologici \( (X,\tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) e data una funzione insiemistica iniettiva \( Y\to X \), le affermazioni 1) \( f \) è un embedding; e 2) per ogni spazio topologico \( (Z,\tau_Z) \) e per ogni funzione insiemistica \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è continua se e solo se la composta \( f\circ g\colon Z\to X \) è continua; sono equivalenti.
In questo post avevo delirato un po' e dimostrato che, nelle notazioni precedenti, se \( f\circ g \) è continua allora \( g \) è continua, ma c'è sicuramente un modo più intelligente di farlo. Qua sotto faccio la dimostrazione completa.
Dimostrazione. Supponiamo che per \( f\colon Y\to X \) iniettiva valga la proprietà universale al punto 2). Allora \( f \) è continua, perché si scrive come composta \( f = f\circ 1_Y \),
\[
Y\xrightarrow{1_Y} Y\xrightarrow{f} X\text{,}
\] dove naturalmente \( 1_Y \) è continua. Quindi, la restrizione di \( f \) in codominio è continua per il punto due/a (o, a scelta, due/b) precedente. Dico che è continua anche l'inversa \( {(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}\colon f_*(Y)\to Y \) della restrizione di \( f \) in codominio. Se la composizione delle frecce nel diagramma
\[
f_*(Y)\xrightarrow{{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}} Y\xrightarrow{f} X
\] fosse continua, allora avrei vinto. Quindi, riscrivo tale diagramma come
\[
f_*(Y)\xrightarrow{{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] in modo da poterlo semplificare in
\[
f_*(Y)\xrightarrow{1_{f_*(Y)}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] e la tesi segue.
Facciamo adesso che \(f\colon Y\to X \) sia un embedding. Sia \( (Z,\tau_Z) \) uno spazio topologico e sia \( g\colon Z\to Y \) una funzione insiemistica. È chiaro che se \( g \) è continua allora anche la composta \( f\circ g \) lo è. Facciamo quindi che sia \( f\circ g \) a essere continua e mostriamo che lo è \( g \). Posso scrivere il diagramma
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f} X
\] come
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] e per il punto due/a (o, più meglio, due/b) precedente posso dire che anche la composizione delle frecce che compaiono in
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)
\] è continua. Se compongo con \( {(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1} \), che è continua per ipotesi, il diagramma precedente si semplifica in nella composizione di funzioni continue
\[
Z\xrightarrow{g} Y
\] e questa è la tesi. \( \square \)
Ora. E sei io volessi fare le cose "al contrario"?
Siano \( (X,\tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) due spazi topologici. Dico che un embedding di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (X,\tau_X) \) è una funzione insiemistica iniettiva \( f\colon Y\to X \) tale che per ogni altro spazio topologico \( (Z,\tau_Z) \) e per ogni altra funzione insiemistica \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è continua se e solo se lo è \( f\circ g \). Chiamo sottospazio topologico di \( (X,\tau_X) \) un qualsiasi spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) equipaggiato con un embedding verso \( X \).
Ovviamente adesso voglio dimostrare un po' di cose. Prima, generalizzo un pochino quello che ho scritto nel punto uno sopra.
uno bis. Se \( (X,\tau_X) \) è uno spazio, \( Y \) è un insieme e \( f\colon Y\to X \) è una funzione di insiemi, denoto con \( \tau_f \) la topologia più grezza che rende continua \( f \). È chiaro che se \( Y\subset X \) allora \( \tau_X{\restriction_Y} \) non è altro che \( \tau_{\iota^Y} \), dove \( \iota^Y\colon Y\to X \) è l'inclusione canonica.
Mi convinco che:
1) se \( Y \) è un insieme, e \( f\colon Y\to X \) è una funzione insiemistica iniettiva, allora \( (Y,\tau_Y) \) è un sottospazio di \( (X,\tau_X) \), e il suo embedding è proprio \( f \).
2) se \( f\colon (Y,\tau_Y)\to (X,\tau_X) \) è un sottospazio (spero si capisca che cosa intendo con le notazioni; sto battezzando un un sottospazio \( (Y,\tau_Y) \) di \( (X,\tau_X) \) e sto dicendo che il suo embedding si chiama \( f \)), allora è
\[
(Y,\tau_Y)\cong (Y,\tau_f)
\] dove \( \tau_f \) è la topologia introdotta sopra;
Così in particolare ho i corollari:
3) se \( A\subset X \), allora \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \) è un sottospazio di \( (X,\tau_X) \), e l'embedding è l'inclusione canonica \( \iota^A \) (questo è immediato da 1));
4) se \( A\subset X \) e \( f\colon (A,\tau_A)\to (X,\tau_X) \) è un sottospazio, allora necessariamente
\[
(A,\tau_A)\cong (A,\tau_X{\restriction_A})
\] (questo non so neanche se sia vero).
Dimostrazione To come.
Che cosa si potrebbe dire di più per avere una visione completa della cosa? In particolare, vorrei formulare meglio il punto 4), perché per essere soddisfacente non dev'essere solo \( (A,\tau_A)\cong (A,\tau_X{\restriction_A}) \) ma anche gli embedding \( f \) e \( \iota^A \) devono in qualche modo "concordare". So che questo "concordare" si può dire bene in qualche modo ma ora non ho più tempo da starci dietro.
Ricordo com'era più o meno la storia.
uno. Dato uno spazio topologico \( (X,\tau_X) \) e un sottoinsieme \( A\subset X \), si introduce la topologia di sottospazio su \( A \) come la topologia più grezza che rende l'inclusione canonica \( \iota^A\colon A\to X \) continua. Questa topologia ho deciso di denotarla con \( \tau_X{\restriction_A} \); si verifica subito che valgono le uguaglianze
\[
\tau_X{\restriction_A} = \{\iota^*(U) : U\in \tau_X\} = \{A\cap U : U\in \tau_X\}\text{.}
\]
due/a. Successivamente si dimostra ("con le mani") che, dato lo spazio \( (X,\tau_X) \) e un suo sottoinsieme \( A \), allora per ogni spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) e per ogni funzione insiemistica \( f\colon Y\to X \) tale che \( f_*(Y)\subset A \), si ha che \( f \) è continua da \( (Y,\tau_Y) \) a \( (X,\tau_X) \) se e solo se la restrizione \( f{\restriction^{f_*(Y)}}\colon Y\to f_*(Y) \) è continua come funzione di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \).
due/b. Dal fatto precedente discende poi che[nota]Di fatto, le affermazioni sono equivalenti.[/nota], per ogni spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) e per ogni funzione insiemistica \( f\colon Y\to A \), si ha che \( f \) è continua da \( (Y,\tau_Y) \) a \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \) se e solo se la composta \( \iota^A\circ f \) è continua come funzione di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (X,\tau_X) \), dove \( \iota^A\colon A\to X \) è l'inclusione canonica.
tre. Infine si introduce la nozione di embedding di uno spazio \( (Y,\tau_Y) \) nello spazio \( (X,\tau_X) \): un embedding è una funzione insiemistica iniettiva \( f\colon Y\to X \) tale che la (co)restrizione di \( f \) all'immagine
\[
f{\restriction^{f_*(Y)}}\colon Y\to f_*(Y)
\] e l'inversa di questa
\[
{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}\colon f_*(Y)\to Y
\] siano funzioni continue quando \( f_*(Y) \) è equipaggiato con la topologia di sottospazio.
Proposizione. Quello che volevo dimostrare è che, dati due spazi topologici \( (X,\tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) e data una funzione insiemistica iniettiva \( Y\to X \), le affermazioni 1) \( f \) è un embedding; e 2) per ogni spazio topologico \( (Z,\tau_Z) \) e per ogni funzione insiemistica \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è continua se e solo se la composta \( f\circ g\colon Z\to X \) è continua; sono equivalenti.
In questo post avevo delirato un po' e dimostrato che, nelle notazioni precedenti, se \( f\circ g \) è continua allora \( g \) è continua, ma c'è sicuramente un modo più intelligente di farlo. Qua sotto faccio la dimostrazione completa.
Dimostrazione. Supponiamo che per \( f\colon Y\to X \) iniettiva valga la proprietà universale al punto 2). Allora \( f \) è continua, perché si scrive come composta \( f = f\circ 1_Y \),
\[
Y\xrightarrow{1_Y} Y\xrightarrow{f} X\text{,}
\] dove naturalmente \( 1_Y \) è continua. Quindi, la restrizione di \( f \) in codominio è continua per il punto due/a (o, a scelta, due/b) precedente. Dico che è continua anche l'inversa \( {(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}\colon f_*(Y)\to Y \) della restrizione di \( f \) in codominio. Se la composizione delle frecce nel diagramma
\[
f_*(Y)\xrightarrow{{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}} Y\xrightarrow{f} X
\] fosse continua, allora avrei vinto. Quindi, riscrivo tale diagramma come
\[
f_*(Y)\xrightarrow{{(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1}} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] in modo da poterlo semplificare in
\[
f_*(Y)\xrightarrow{1_{f_*(Y)}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] e la tesi segue.
Facciamo adesso che \(f\colon Y\to X \) sia un embedding. Sia \( (Z,\tau_Z) \) uno spazio topologico e sia \( g\colon Z\to Y \) una funzione insiemistica. È chiaro che se \( g \) è continua allora anche la composta \( f\circ g \) lo è. Facciamo quindi che sia \( f\circ g \) a essere continua e mostriamo che lo è \( g \). Posso scrivere il diagramma
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f} X
\] come
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)\xrightarrow{\iota^{f_*(Y)}} X
\] e per il punto due/a (o, più meglio, due/b) precedente posso dire che anche la composizione delle frecce che compaiono in
\[
Z\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f{\restriction^{f_*(Y)}}} f_*(Y)
\] è continua. Se compongo con \( {(f{\restriction^{f_*(Y)}})}^{-1} \), che è continua per ipotesi, il diagramma precedente si semplifica in nella composizione di funzioni continue
\[
Z\xrightarrow{g} Y
\] e questa è la tesi. \( \square \)
Ora. E sei io volessi fare le cose "al contrario"?
Siano \( (X,\tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) due spazi topologici. Dico che un embedding di \( (Y,\tau_Y) \) in \( (X,\tau_X) \) è una funzione insiemistica iniettiva \( f\colon Y\to X \) tale che per ogni altro spazio topologico \( (Z,\tau_Z) \) e per ogni altra funzione insiemistica \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è continua se e solo se lo è \( f\circ g \). Chiamo sottospazio topologico di \( (X,\tau_X) \) un qualsiasi spazio topologico \( (Y,\tau_Y) \) equipaggiato con un embedding verso \( X \).
Ovviamente adesso voglio dimostrare un po' di cose. Prima, generalizzo un pochino quello che ho scritto nel punto uno sopra.
uno bis. Se \( (X,\tau_X) \) è uno spazio, \( Y \) è un insieme e \( f\colon Y\to X \) è una funzione di insiemi, denoto con \( \tau_f \) la topologia più grezza che rende continua \( f \). È chiaro che se \( Y\subset X \) allora \( \tau_X{\restriction_Y} \) non è altro che \( \tau_{\iota^Y} \), dove \( \iota^Y\colon Y\to X \) è l'inclusione canonica.
Mi convinco che:
1) se \( Y \) è un insieme, e \( f\colon Y\to X \) è una funzione insiemistica iniettiva, allora \( (Y,\tau_Y) \) è un sottospazio di \( (X,\tau_X) \), e il suo embedding è proprio \( f \).
2) se \( f\colon (Y,\tau_Y)\to (X,\tau_X) \) è un sottospazio (spero si capisca che cosa intendo con le notazioni; sto battezzando un un sottospazio \( (Y,\tau_Y) \) di \( (X,\tau_X) \) e sto dicendo che il suo embedding si chiama \( f \)), allora è
\[
(Y,\tau_Y)\cong (Y,\tau_f)
\] dove \( \tau_f \) è la topologia introdotta sopra;
Così in particolare ho i corollari:
3) se \( A\subset X \), allora \( (A,\tau_X{\restriction_A}) \) è un sottospazio di \( (X,\tau_X) \), e l'embedding è l'inclusione canonica \( \iota^A \) (questo è immediato da 1));
4) se \( A\subset X \) e \( f\colon (A,\tau_A)\to (X,\tau_X) \) è un sottospazio, allora necessariamente
\[
(A,\tau_A)\cong (A,\tau_X{\restriction_A})
\] (questo non so neanche se sia vero).
Dimostrazione To come.
Che cosa si potrebbe dire di più per avere una visione completa della cosa? In particolare, vorrei formulare meglio il punto 4), perché per essere soddisfacente non dev'essere solo \( (A,\tau_A)\cong (A,\tau_X{\restriction_A}) \) ma anche gli embedding \( f \) e \( \iota^A \) devono in qualche modo "concordare". So che questo "concordare" si può dire bene in qualche modo ma ora non ho più tempo da starci dietro.
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