Proposizione dubbia, simile al teorema di Wallace (topol.)
Buon giorno, su alcuni appunti scritti a mano che ho trovato tempo fa, era riportata questa proposizione (senza dimostrazione):
Proposizione
Siano $X,Y$ spazi topologici e $A,B$ sottoinsiemi non vuoti di $X,Y$, rispettivamente. Se $W$ è un sottoinsieme di $X \times Y$ tale che $A \times B \subseteq W^\circ$, allora esistono sottoinsiemi $U, V$ di $X,Y$ tali che $A \subseteq U^\circ,\qquad B \subseteq \V^\circ$ e $U \times V \subseteq W$
E' vera? Se sì, come dimostrarla? Ha un nome particolare?
Ho trovato un teorema (detto di Wallace) dall'enunciato simile in cui però $A$ e $B$ son supposti compatti, $W$ aperto e nella tesi $U$ e $V$ aperti.
Grazie!
Proposizione
Siano $X,Y$ spazi topologici e $A,B$ sottoinsiemi non vuoti di $X,Y$, rispettivamente. Se $W$ è un sottoinsieme di $X \times Y$ tale che $A \times B \subseteq W^\circ$, allora esistono sottoinsiemi $U, V$ di $X,Y$ tali che $A \subseteq U^\circ,\qquad B \subseteq \V^\circ$ e $U \times V \subseteq W$
E' vera? Se sì, come dimostrarla? Ha un nome particolare?
Ho trovato un teorema (detto di Wallace) dall'enunciato simile in cui però $A$ e $B$ son supposti compatti, $W$ aperto e nella tesi $U$ e $V$ aperti.
Grazie!
Risposte
"rbtqwt":
Buon giorno, su alcuni appunti scritti a mano che ho trovato tempo fa, era riportata questa proposizione (senza dimostrazione):
Proposizione
Siano $X,Y$ spazi topologici e $A,B$ sottoinsiemi non vuoti di $X,Y$, rispettivamente. Se $W$ è un sottoinsieme di $X \times Y$ tale che $A \times B \subseteq W^\circ$, allora esistono sottoinsiemi $U, V$ di $X,Y$ tali che $A \subseteq U^\circ,\qquad B \subseteq \V^\circ$ e $U \times V \subseteq W$
E' vera? Se sì, come dimostrarla? Ha un nome particolare?
Ho trovato un teorema (detto di Wallace) dall'enunciato simile in cui però $A$ e $B$ son supposti compatti, $W$ aperto e nella tesi $U$ e $V$ aperti.
Grazie!
Direi che e' falsa.
Prendi $X=Y=RR$ con la solita topologia. Prendi $A={0}$ e $B=RR$. Quindi $A\times B$ e' l'asse $y$. Prendi $W=\{ (x,y) : |x|<1/(1+y^2) \}$. Non e' difficile convincersi del fatto che $W$ e' aperto,
$A\times B\subset W$, ma non esiste nessun intorno $U$ di zero tale che $U\times RR$ sia contenuto in $W$.
Il problema in effetti e' la compattezza (in questo caso di $B$) - il fatto che $W$, $U$ e $V$ siano aperti e' accessorio.
Grazie per la gentile risposta ed il controesempio ! Ero insospettito dal fatto che questa proposizione fosse posta poco dopo la definizione di topologia prodotto! Sarà stato un refuso 
! Ero insospettito dal fatto che questa proposizione fosse posta poco dopo la definizione di topologia prodotto! Sarà stato un refuso
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