Proiezioni ortogonali

[davide940]

Sia $ v in R^4$ e sia $U <= R^4$ un sottospazio di $ R^4$ con base $ U = $. Allora $ dim(U^(_|_)) = 2 $. Ora ogni vettore puo' essere scritto in questo modo:
$ v = P_U(v) + P_(U^(_|_))(v)$
dove ad esempio:
$P_U(v) = v*u_1u_1 + v*u_2u_2 $
La mia domanda e':
Quando faccio la proiezione i vettori $ u_1,u_2, ..,u_n$ devono essere per forza una base ortonormale?

[Emar1]

"davide940":
$P_U(v) = v*u_1u_1 + v*u_2u_2 $
La mia domanda e':
Quando faccio la proiezione i vettori $ u_1,u_2, ..,u_n$ devono essere per forza una base ortonormale?

Sì, se vuoi usare quella formula sì. Se avessi una base non ortonormale quella formula non sarebbe valida e dovresti usare un proiettore sugli elementi della base fatto così:
\[P_{\mathbf{u}_i} = \mathbf{u}_i(\mathbf{u}_i^T\mathbf{u}_i)^{−1}\mathbf{u}_i^T \]

Onde evitare di fare confusione è sempre meglio normalizzare la base