Proiezione stereografica

[Principe2]

spero che qualcuno sappia cosa sia la proiezione stereografica... perchè ci metterei sei ore a spiegarla e nessuno ci capirebbe niente; si tratta brevemente della proiezione di un punto del piano sulla sfera di riemann...

bene; siano (x,y) le coordinate del punto e r il raggio della sfera, quali sono le coordinate del punto (x,y) proiettato sulla sfera..

p.s. a richiesta posto il metodo della proiezione stereografica, sperando di riuscire ad essere chiaro senza immagini.

ciao, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Non ho ben capito cosa chiedi, ma solitamente si fissa un punto sulla sfera che non sia il polo nord, e si scrive la retta passante per il polo nord ed il punto dato. Si interseca quindi tale retta con il piano che contiene l'equatore. In tal modo hai una corrispondenza biunivoca tra l'intero piano e la sfera privata del polo nord. Aggiungendo un punto "all'infinto" al piano che fai corrispondere al polo nord, hai che la sfera e' un modello della retta proiettiva.

Luca.

P.S. Lo scopo principale dell'introduzione della proiezione stereografica e' pero' la necessita' di definire i limiti, ad esempio in due variabili, per x o y o entrambe che tendono all'infinito. Allora mediante la proiezione, il limite corrispondente sulla sfera non presenta la diffcolta' dell'infinito.

[Principe2]

intendO: se chiamiamo A' la proiezione del punto A = (x,y) sulla sfera di raggio r, che facciamo tangente al piano XY nell'origine; quali sono le coordinate di A'??

grazie comunque

ciao, ubermensch

[anonymous_af8479]

Se ho fatto bene i conti, l'equazione dlela trasformazione è :

x = R * cotg(fi/2) * cos(teta)

y = R * cotg(fi/2) * sin(teta)

dove fi è la "latitudine" (a partire dal polo nord e verso l'equatore), fra 0 e pi/2, e teta è la "longitudine" (a partire dal semiasse positivo delle x ed in senso antioratrio), fra 0 e 2pi.

Il piano oxy contiene l'equatore e l'asse 0z passa per il polo nord.

Ovviamente considero la sola emisfera.

E' interessante vedere cosa succede se fi ha un valore costante. Si ottengono delle circonferenze sul piano 0xy.

Per fi = pi/2, si ottiene una circonrenza coincidente con l'equatore :



per fi = pi/4 :



per fi = pi/10 :



Nel seguente caso, faccio un "cammino circolare" nel piano teta-fi. Esattamente :

teta = 1 + 0.5*cos(u)
fi = 1 + 0.5*sin(u)

con u da 0 a 2pi.

Si ottiene :




Bye.