Proiezione stereografica

alfiere15 · 2017-09-27CEST11:12:43+02:00

"Buongiorno!\nAvrei qualche problema con la dimostrazione che la proiezione stereografica \u00e8 un omeomorfismo tra spazi topologici.\nSo che la proiezione stereografica \u00e8 definita dal' n-sfera meno un punto all'ortogonale del punto:\n$F_v (x): S^n - {v} -> ^(bot)$ tale che $F_v (p) = [p,v] cap ^(bot)$\nA lezione abbiamo fatto come segue, ma ci sono passaggi che non mi sono chiari. Li indico con (**)\nVogliamo provare che \u00e8 un omeomorfismo.\n1) Determino esplicitamente $F_v$\n$^(bot) = {x|$$=0}$\nsia v+t(p-v) punto generico di [p,v] - {v}\nimpongo: $ = 0$\n---> (**) $1+t = 0 -> 1+t -t = 0 -> t= 1\//(1-)$\nDunque si conclude che siamo in presenza di applicazioni continue, dunque F \u00e8 continua.\n1) Determino esplicitamente $F_v ^(-1)$\nsia v+t(p-v) punto generico di [p,v] - {v}\nimpongo: $||v + t(p-v)|| = 1$\n---> (**) $||v||^2 +2t + t^2||v-p||^2 =1 -> +2t + t^2||v-p||^2 = 0 -> t = -2\//(||v-p||^2) = -2\//(1+||x||^2)$ \nDunque si conclude che siamo in presenza di componenti continue, dunque l'inversa di F \u00e8 continua."

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alfiere15

27 set 2017, 11:12

Buongiorno!
Avrei qualche problema con la dimostrazione che la proiezione stereografica è un omeomorfismo tra spazi topologici.
So che la proiezione stereografica è definita dal' n-sfera meno un punto all'ortogonale del punto:
$F_v (x): S^n - {v} -> ^(bot)$ tale che $F_v (p) = [p,v] cap ^(bot)$
A lezione abbiamo fatto come segue, ma ci sono passaggi che non mi sono chiari. Li indico con (**)
Vogliamo provare che è un omeomorfismo.
1) Determino esplicitamente $F_v$
$^(bot) = {x|$$=0}$
sia v+t(p-v) punto generico di [p,v] - {v}
impongo: $ = 0$
---> (**) $1+t<(p-v),v> = 0 -> 1+t -t = 0 -> t= 1/(1-)$
Dunque si conclude che siamo in presenza di applicazioni continue, dunque F è continua.
1) Determino esplicitamente $F_v ^(-1)$
sia v+t(p-v) punto generico di [p,v] - {v}
impongo: $||v + t(p-v)|| = 1$
---> (**) $||v||^2 +2t + t^2||v-p||^2 =1 -> +2t + t^2||v-p||^2 = 0 -> t = -2/(||v-p||^2) = -2/(1+||x||^2)$
Dunque si conclude che siamo in presenza di componenti continue, dunque l'inversa di F è continua.

Risposte

killing_buddha

27 set 2017, 13:20

Sono i passaggetti per trovare $t$ che ti confondono?

La proiezione stereografica e' la mappa
\[
x\mapsto \left( \frac{2x}{1+\|x\|^2},\frac{\|x\|-1}{\|x\|+1} \right)
\]
ed e' una funzione razionale delle entrate di $x=(x_1,...,x_n)$. Quindi e' continua.