Proiezione otogonale di un vettore su di un sottospazio

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1 set 2009, 19:13

Salve a tutti!!! Mi potreste dare una mano con questo esercizio?

In $RR^4$, reso euclideo con il prodotto scalare standard, determinare una base ortonormale
del sottospazio $U$ formato dai vettori che sono ortogonali al vettore $v$ $=$ $(1; 1;-1; 0)$. Quanto vale
$dim U$? Determinare inoltre la proiezione ortogonale di $v$ sul sottospazio $U$.

Non riesco a capire come devo procedere, qualcuno mi potrebbe gentilmente aiutare ad impostare lo svolgimento?

Vi ringrazio in anticipo!!

zoso89

Risposte

franced

1 set 2009, 17:22

"zoso89":

In $RR^4$, reso euclideo con il prodotto scalare standard, determinare una base ortonormale
del sottospazio $U$ formato dai vettori che sono ortogonali al vettore $v$ $=$ $(1; 1;-1; 0)$. Quanto vale
$dim U$? Determinare inoltre la proiezione ortogonale di $v$ sul sottospazio $U$.

Il sottospazio $U$ è formato da quei vettori $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$ tali che

$((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) * ((1),(1),(-1),(0)) = 0$

la dimensione di $U$ la trovi facilmente...

Per la proiezione di $v$ su $U$ basta pensarci un po'...

zoso89-votailprof

1 set 2009, 17:36

quindi in sostanza la $dimU = 3$ e la base di $U$ è formata dai vettori $u=( 1, 0, 1, 0 )$ , $v=( 0, 1, 1, 0 )$ e $w=( 0, 0, 0, 1 )$?

franced

1 set 2009, 17:38

"zoso89":
quindi in sostanza la $dimU = 3$ e la base di $U$ è formata dai vettori $u=( 1, 0, 1, 0 )$ , $v=( 0, 1, 1, 0 )$ e $w=( 0, 0, 0, 1 )$?

Esatto, però il testo ora ti chiede una base ortonormale di $U$.

zoso89-votailprof

1 set 2009, 17:45

si ma basta usare il metodo di Gram-Schmidt per calcolarla...e poi per fare la proiezione uso il sistema normale. giusto? o sto sbagliando?

franced

1 set 2009, 18:06

"zoso89":
si ma basta usare il metodo di Gram-Schmidt per calcolarla...e poi per fare la proiezione uso il sistema normale. giusto? o sto sbagliando?

Il sistema normale lo puoi utilizzare in questi casi, anche senza avere una base ortonormale.

Ma in questo esercizio la situazione è particolare, pensaci bene!

zoso89-votailprof

2 set 2009, 15:28

allora io ho svolto l'esercizio in questo modo:
ho la base $u=( 1, 0, 1, 0 )$ , $v=( 0, 1, 1, 0 )$ e $w=( 0, 0, 0, 0)$
trovo la base ortonormale sapendo che $u$ e $w$ sono ortogonali e $v$ e $w$ sono ortogonali
quindi mi calcolo

$u'=( 1, 0, 1, 0 ) +h ( 0, 1, 1, 0 )= ( 1, 0, 1, 0 ) + ( 0, h, h, 0 )= ( 1, h, 1+h, 0 )$

impongo che $v$ sia ortogonale a $u'$

$( 1, 0, 1, 0 ) xx ( 1, h, 1+h, 0 )=0$ quindi $h=-1/2$

$u'= ( 1, -1/2, 1/2, 0)$

trovo così la base ortonormale $u_1=(0,0,0,1)$ , $v_1=( 0, 1$$/sqrt(2)$$, 1$$/sqrt(2)$$ ,0 )$ , $w_1=( 2/3, -1/3 ,1/3, 0 )$

infine faccio la proiezione ortogonale di $v= ( 1, 1, -1, 0 )$

$\lambda_1= ( 1, 1, -1, 0 ) xx (0,0,0,1)=0$

$\lambda_2= ( 1, 1, -1, 0 ) xx (0, 1$$/sqrt(2)$$, 1$$/sqrt(2)$$ ,0 )=0$

$\lambda_3= ( 1, 1, -1, 0 ) xx (2/3, -1/3 ,1/3, 0)=2/3$

$v$$^\bot$$ = 2/3 xx (2/3, -1/3 ,1/3, 0)=(4/9, -2/9, 2/9, 0)$

franced

4 set 2009, 14:03

"zoso89":

In $RR^4$, reso euclideo con il prodotto scalare standard, determinare una base ortonormale
del sottospazio $U$ formato dai vettori che sono ortogonali al vettore $v$ $=$ $(1; 1;-1; 0)$. Quanto vale
$dim U$? Determinare inoltre la proiezione ortogonale di $v$ sul sottospazio $U$.

La proiezione di $v$ sul sottospazio $U$ è, ovviamente, il vettore nullo.
Prova a pensare al caso tridimensionale...