Proiezione ortogonale punto su piano in R4
Ciao a tutti ho un problema con un un esercizio.
Inizio trovando le equazioni cartesiane di un piano in R4 dati 3 punti.
x-2w-y=0 e 2x-w-z-4=0
Successivamente mi viene chiesto di trovare la proiezione ortogonale P' del punto P = (7,3,-3,3), e qui trovo difficoltà.
Ho pensato di intersecare il piano con una retta perpendicolare ad esso, ma nella pratica non mi riesce.
Inizio trovando le equazioni cartesiane di un piano in R4 dati 3 punti.
x-2w-y=0 e 2x-w-z-4=0
Successivamente mi viene chiesto di trovare la proiezione ortogonale P' del punto P = (7,3,-3,3), e qui trovo difficoltà.
Ho pensato di intersecare il piano con una retta perpendicolare ad esso, ma nella pratica non mi riesce.
Risposte
$v_1=(1,-1,0,-2)$ e $v_2=(2,0,-1,-1)$ formano una base dello spazio di vettori perpendicolari al piano perciò il vettore direzione della retta congiungente $P$ a $P'$ è $v=\lambda v_1+\mu v_2$ per qualche $\lambda,\mu\in\mathbb R$.
Se $P'=P+tv=P+t\lambda v_1+t\mu v_2$ per qualche $t\in\mathbb R$, allora sostituendo le coordinate di $P'$ nelle equazioni del piano dovresti trovare un sistema di due equazioni lineari indipendenti nelle incognite $t\lambda$, $t\mu$.
Se $P'=P+tv=P+t\lambda v_1+t\mu v_2$ per qualche $t\in\mathbb R$, allora sostituendo le coordinate di $P'$ nelle equazioni del piano dovresti trovare un sistema di due equazioni lineari indipendenti nelle incognite $t\lambda$, $t\mu$.
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