Proiezione di un vettore sulla direzione di un altro vettore

[Incognita X]

Buongiorno a tutti. Mi è stato posto un problema sui vettori, del quale conosco la soluzione, ma che mi mette in difficoltà.

Verificare che i tre vettori $u = (-1,1,2)$, $v = (3,-1,2)$, $w = (-4,-8,2)$ sono mutuamente ortogonali e
calcolare la proiezione del vettore $u + v + w$ lungo la direzione orientata del vettore $u - v$.

Beh, per verificare che i vettori siano ortogonali, basta svolgere il prodotto scalare: se è pari a zero, significa che sono perpendicolari.
Però quella che mi mette in difficoltà è la seconda richiesta. Innanzitutto ho calcolato i vettori $u + v + w$ e $u - v$.

$u - v = (-4,2,0)$ e $u + v + w = (-2,-8,6)$

Ora, la mia idea era quella di calcolare l'angolo tra l'asse delle ascisse, il cui versore è $x = (1,0,0)$ e il vettore $u - v$ e poi calcolare il coseno dell'angolo trovato per il modulo del vettore $u + v + w$. Questa era la mia idea, che però non porta allo stesso risultato del libro.

Voi come fareste?

Attendo anziosamente risposte. Grazie in anticipo.

P.S. Il risultato dovrebbe essere $-4/sqrt(5)$.

[Steven11]

[mod="Steven"]Mi sembra più adatto il forum "Università".

Sposto il thread.[/mod]

[Incognita X]

Ok. Rispetto la decisione anche se l'argomento che ho proposto mi sembrava abbastanza semplice, seppur io non riesca a risolverlo.

[daertu]

La soluzione al problema dovrebbe stare tutta qui:

Considera uno spazio vettoriale euclideo $V=(K,<\cdot,\cdot>)$ dove $K$ è un campo (nel tuo caso $\RR^3$ dotato delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare) e $<\cdot,\cdot>$ un prodotto scalare (nel tuo caso il prodotto scalare euclideo).
Considera due vettori $x,y\in V$; si dice componente ortogonale di $x$ lungo la direzione di y$

$x_y=$ dove $\vers(y)=\frac{y}{||y||}$

(da quanto ho capito, tu sei interessato a questo numero)

Si dice proiezione ortogonale di $x$ lungo la direzione di $y$ il vettore

$x_y vers(y)$

*****
Edit per facilitare successive consultazioni, scusate, avevo impropriamente utilizzato il tag \underline, credevo funzionasse bene ^_^
*****

[Incognita X]

Grazie per la risposta, però non ho capito molto. Innanzitutto, scusa la mia ignoranza, ma cosa significano i simboli $<\cdot$ e $\cdot>$?

La formula per ottenere il versore e la proiezione la sò. Però come le ho utilizzate io, tali formule, non va bene.

Inoltre, nel libro, o meglio nella dispensa del mio professore, c'è la formula "banale" (secondo il professore):

Proiezione = $(||u||^2 - ||v||^2)/(||u - v||)$, che alla fine risultava $-4/\sqrt(5)

Perché? Cosa ha fatto il professore? Mi potresti per piacere indicare i passaggi seguendo anche il valore numerico dei miei vettori? Grazie per l'aiuto.

[daertu]

Allora, lascia perdere tutta la premessa rigorosa di spazio vettoriale euclideo eccetera eccetera eccetera e andiamo in una visione più "da ingegnere" della cosa: hai due vettori dello spazio e vuoi calcolare la componente di un vettore lungo la direzione dell'altro.


Il simbolo $<\cdot,\cdot>$ sta ad indicare il prodotto scalare, quindi ad esempio $$ è il prodotto scalare tra $x$ e $y$; forse sei abituato a vedere il prodotto scalare come $x \cdot y$, è solo questione di notazione ^_^

La formula che mi hai dato della proiezione è riferita a due vettori generici o a quest'esercizio in particolare? Non sto riuscendo a ricondurmi lì, magari tra un po' ci riprovo ed eventualmente aggiungerò un post.

Comunque, se seguiamo le definizioni che ti ho dato prima, otteniamo proprio $\frac{-4}{\sqrt{5}}$. Infatti

$||(u-v)||=\sqrt{16+4+0}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$vers(u-v)=(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0)$

Proiezione=$\quad=(-2)(-\frac{2}{\sqrt{5}})+(-8)(\frac{1}{sqrt{5}})+(6)(0)=\frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{8}{\sqrt{5}}=-\frac{4}{\sqrt{5}}$

Ti ripeto, proverò a ricondurmi alla formula del tuo professore tra un po' (dopo aver cenato, probabilmente ^_^) e ti farò sapere con un post successivo!

[clrscr]

"xshell":Grazie per la risposta, però non ho capito molto. Innanzitutto, scusa la mia ignoranza, ma cosa significano i simboli $<\cdot$ e $\cdot>$?

La formula per ottenere il versore e la proiezione la sò. Però come le ho utilizzate io, tali formule, non va bene.

Inoltre, nel libro, o meglio nella dispensa del mio professore, c'è la formula "banale" (secondo il professore):

Proiezione = $(||u||^2 - ||v||^2)/(||u - v||)$, che alla fine risultava $-4/\sqrt(5)

Perché? Cosa ha fatto il professore? Mi potresti per piacere indicare i passaggi seguendo anche il valore numerico dei miei vettori? Grazie per l'aiuto.

Per la formula del tuo prof. si parte dal risultato di "daertu":
proiezione=$1/||u-v||$.
Per il momento dimentichiamoci della costante di moltiplicazione.
Dunque:
$ = + $ sfruttando il fatto della mutua escluzione il primo termine si annulla, diventando (qui si gioca un pò con le proprietà del prodotto scalare):
$ = - = + - - = ||u||^2-||v||^2$, poi aggiugici la costante e il risultato è quello del tuo prof.

[Incognita X]

"daertu":Allora, lascia perdere tutta la premessa rigorosa di spazio vettoriale euclideo eccetera eccetera eccetera e andiamo in una visione più "da ingegnere" della cosa: hai due vettori dello spazio e vuoi calcolare la componente di un vettore lungo la direzione dell'altro.

Scusa per il mio linguaggio poco formale, ma hai azzeccato alla grande: cerco di diventare un ingegnorucolo e mi piace avere sotto gli occhi il metodo pratico piuttosto che quello teorico.

"daertu":Il simbolo $<\cdot,\cdot>$ sta ad indicare il prodotto scalare, quindi ad esempio $$ è il prodotto scalare tra $x$ e $y$; forse sei abituato a vedere il prodotto scalare come $x \cdot y$, è solo questione di notazione ^_^

Grazie, questo proprio non lo sapevo. Infatti sono abituato a vedere il prodotto scalare con un puntino e il prodotto vettoriale come una X o come una V ribaltata.

"daertu":La formula che mi hai dato della proiezione è riferita a due vettori generici o a quest'esercizio in particolare? Non sto riuscendo a ricondurmi lì, magari tra un po' ci riprovo ed eventualmente aggiungerò un post.

E' proprio questo che sto cercando di capire... non sò da dove se la è ricavata...

"daertu":Comunque, se seguiamo le definizioni che ti ho dato prima, otteniamo proprio $\frac{-4}{\sqrt{5}}$. Infatti

$||(u-v)||=\sqrt{16+4+0}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$vers(u-v)=(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0)$

Proiezione=$\quad=(-2)(-\frac{2}{\sqrt{5}})+(-8)(\frac{1}{sqrt{5}})+(6)(0)=\frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{8}{\sqrt{5}}=-\frac{4}{\sqrt{5}}$

Ti ripeto, proverò a ricondurmi alla formula del tuo professore tra un po' (dopo aver cenato, probabilmente ^_^) e ti farò sapere con un post successivo!

Ok, quindi alla fine non dovevo ricavare l'angolo, ma semplicemente il versore di $u - v$ e poi fare il prodotto scalare tra il vettore e il versore. Fin qui ci sono. Ancora però devo capire la formuletta del professore... il problema (se è un problema) è che la formuletta funziona! Comunque buon appetito (io purtroppo ho finito di cenare... pesce bollito, che mia nonna dice sempre che contenga fosforo... per la matematica... (anche se finora non ha funzionato).

[Incognita X]

"clrscr":[quote="xshell"]Grazie per la risposta, però non ho capito molto. Innanzitutto, scusa la mia ignoranza, ma cosa significano i simboli $<\cdot$ e $\cdot>$?

La formula per ottenere il versore e la proiezione la sò. Però come le ho utilizzate io, tali formule, non va bene.

Inoltre, nel libro, o meglio nella dispensa del mio professore, c'è la formula "banale" (secondo il professore):

Proiezione = $(||u||^2 - ||v||^2)/(||u - v||)$, che alla fine risultava $-4/\sqrt(5)

Perché? Cosa ha fatto il professore? Mi potresti per piacere indicare i passaggi seguendo anche il valore numerico dei miei vettori? Grazie per l'aiuto.

Per la formula del tuo prof. si parte dal risultato di "daertu":
proiezione=$1/||u-v||$.
Per il momento dimentichiamoci della costante di moltiplicazione.
Dunque:
$ = + $ sfruttando il fatto della mutua escluzione il primo termine si annulla, diventando (qui si gioca un pò con le proprietà del prodotto scalare):
$ = - = + - - = ||u||^2-||v||^2$, poi aggiugici la costante e il risultato è quello del tuo prof.[/quote]

Grazie, adesso è più chiaro, anche se "giocare" con le formule non è la mia passione, ecco perché non l'avevo capita. Grazie ancora ad entrambi e buona serata.

[daertu]

"clrscr":Per la formula del tuo prof. si parte dal risultato di "daertu":
proiezione=$1/||u-v||$.
Per il momento dimentichiamoci della costante di moltiplicazione.
Dunque:
$ = + $ sfruttando il fatto della mutua escluzione il primo termine si annulla, diventando (qui si gioca un pò con le proprietà del prodotto scalare):
$ = - = + - - = ||u||^2-||v||^2$, poi aggiugici la costante e il risultato è quello del tuo prof.

Come vedi la formula l'ha spiegata clrscr ^_^

Anche io studio ingegneria, e fidati, ti consiglio vivamente di acquisire un linguaggio matematico formale perchè aiuta sia nell'affrontare gli esami prettamente matematici sia nell'acquisire metodologia di studio e capacità di spiegarsi nel miglior modo possibile ^_^

[Incognita X]

"daertu":[quote="clrscr"]Per la formula del tuo prof. si parte dal risultato di "daertu":
proiezione=$1/||u-v||$.
Per il momento dimentichiamoci della costante di moltiplicazione.
Dunque:
$ = + $ sfruttando il fatto della mutua escluzione il primo termine si annulla, diventando (qui si gioca un pò con le proprietà del prodotto scalare):
$ = - = + - - = ||u||^2-||v||^2$, poi aggiugici la costante e il risultato è quello del tuo prof.

Come vedi la formula l'ha spiegata clrscr ^_^

Anche io studio ingegneria, e fidati, ti consiglio vivamente di acquisire un linguaggio matematico formale perchè aiuta sia nell'affrontare gli esami prettamente matematici sia nell'acquisire metodologia di studio e capacità di spiegarsi nel miglior modo possibile ^_^[/quote]

Si, hai sicuramente ragione. Proverò, ma non è facile.

[Incognita X]

Se potrete aiutarmi anche nella seconda parte, vi sarei veramente grato... (non ho ancora capito se sono io ad essere stupido o se è la matematica ad essere difficile).

Il problema continua dicendo: dopo aver svolto la proiezione, considera un nuovo vettore $l = (2,2,-1)$. Scomporre tale vettore nella somma di un vettore $m$, ortogonale e un vettore $n$ parallelo al versore $e = (1/2,-1/2,1/\sqrt(2))$. Quindi $l = m + n$.

Beh, questa ultima richiesta mi ha letteralmente spaesato... non sò da che parte iniziare... l'unica cosa che sò e che il prodotto scalare $ = 0$ e $ = 1$... ma poi? Devo fare un sistema?

[daertu]

"xshell":l'unica cosa che sò e che il prodotto scalare =0 e =1

Su $ =0$ ci siamo, ma non vedo per quale motivo debba essere $ =1$

Comunque, se rileggi il primo messaggio che ho postato ieri, c'è scritto

"daertu":Si dice proiezione ortogonale di x lungo la direzione di y il vettore (...)

Se ti è chiaro quello, non dovresti aver problemi a trovare il vettore $n$ parallelo al versore $e$. Per quanto riguarda il calcolo di $m$, una volta noto $n$ la soluzione è più semplice di quanto tu possa immaginare ^_^

Pensaci ancora un po'!

[Incognita X]

Uhm... ripensandoci ancora un po', ho fatto questo microscopico (se non addirittura femtoscopico) passo:

$e = (1/2,-1/2,1/\sqrt(2))$

$l = (2,2,-1) = m + n$

$ = 0$

$n = ke = (k/2,-k/2,k/\sqrt(2))$, con $k \in \mathbb{R}$


Ma non riesco a calcolare $k$, perché dovrei considerare anche il valore di $m$...

[daertu]

Allora, ieri hai calcolato la componente del vettore $x$ lungo la direzione del vettore $y$ come

$$

che è, ovviamente, un numero; se moltiplichi questo numero per $vers(y)$ ottieni un vettore; e questa è la proiezione di $x$ lungo la direzione di $y$.

A questo punto dovrebbe esserti chiaro che, in questo esercizio,

$n=e$

a te il seguito.

[Incognita X]

"daertu":Allora, ieri hai calcolato la componente del vettore $x$ lungo la direzione del vettore $y$ come

$$

che è, ovviamente, un numero; se moltiplichi questo numero per $vers(y)$ ottieni un vettore; e questa è la proiezione di $x$ lungo la direzione di $y$.

A questo punto dovrebbe esserti chiaro che, in questo esercizio,

$n=e$

a te il seguito.

Sai che ti dico... io sono un decelebrato... non è possibile che mi possa dimenticare come si trovano le componenti... dopo aver fatto un riposino, ho riletto il testo del problema e mi è pure sembrato banale. Grazie e scusa per il disturbo... domani mi dimenticherò come si fanno le divisioni...