Proiezione del vettore delle der. seconde sulla normale

[Chicco_Stat_1]

Vi chiedo un piccolo aiuto su un problema che mi assilla..
siamo su una varietà di dimensione 2 (una superficie) immersa in uno spazio euclideo di dimensione 3. Ho una curva su tale superficie e su questa curva fisso un punto. Calcolo il vettore delle derivate seconde in quel punto.
Ora, io so che la normale alla superficie è indipendente dalla parametrizzazione scelta, a meno del segno del determinante dello jacobiano di una eventuale trasformazione di coordinate che però non scomodiamo. Voglio sapere come posso fare a dimostrare che la proiezione del vettore delle derivate seconde sulla normale alla superficie nel punto di cui sopra è a sua volta indipendente dalla parametrizzazione...intuitivamente mi viene da dire che è così in quanto proporzionale alla normale, e quindi anche cambiando parametrizzazione mi resta fuori il determinante dello jacobiano e vale il discorso fatto prima.. però c'è anche il discorso del coefficiente di proporzionalità fra la normale e la componente lungo la normale del vettore delle derivate seconde...qualcuno mi può aiutare?

[Chicco_Stat_1]

aggiornamento alla richiesta:
sono riuscito a dimostrarlo (e finalmente ) per il caso della curva parametrizzata per la lunghezza d'arco...però voglio poter dire qualcosa quale che sia la parametrizzazione...come faccio? please fate girare i criceti perché è molto importante per me
vi ringrazio anticipatamente (mossa subdola-psicologica sperando di far leva sulla coscienza di qualcuno eheh)

ciao!