Proiezione canonica
Sia $U=<(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)>$ e $W:\{(x_2=0),(x_3=0)}$.
Cerco la matrice della proiezione lungo W nelle basi canoniche.
$(x_1,x_2,x_3,x_4)=u+w$ quindi $w=(x_1,x_2,x_3,x_4)-u=(x_1-a,x_2+a,x_3-b,x_4+b)$.
Impongo che quest'ultimo vettore stia in W quindi $\{(x_2+a=0),(x_3-b=0)}$ da cui $\{(a=-x_2),(b=x_3)}$.
La generica proiezione è quindi $(x_1+x_2,0,0,x_3+x_4)$ ma deve esserci un errore...dove sbaglio?
Cerco la matrice della proiezione lungo W nelle basi canoniche.
$(x_1,x_2,x_3,x_4)=u+w$ quindi $w=(x_1,x_2,x_3,x_4)-u=(x_1-a,x_2+a,x_3-b,x_4+b)$.
Impongo che quest'ultimo vettore stia in W quindi $\{(x_2+a=0),(x_3-b=0)}$ da cui $\{(a=-x_2),(b=x_3)}$.
La generica proiezione è quindi $(x_1+x_2,0,0,x_3+x_4)$ ma deve esserci un errore...dove sbaglio?
Risposte
Se non sbagliassi dovresti determinare una base di W, completarla in una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] e determinare la rappresentazione del generico vettore di U in tale base. Consideri le coordinate corrispondenti ai vettori di tale base non in W e le trasformi nelle coordinate della base canonica.
Da ciò dovresti riuscire a determinare l'applicazione lineare "proiezione lungo W" e rappresentarla secondo la base canonica!
Da ciò dovresti riuscire a determinare l'applicazione lineare "proiezione lungo W" e rappresentarla secondo la base canonica!
Mi sembra di aver fatto come hai detto tu, infatti ho utilizzato come base di W $<(1,0,0,0),(0,0,0,1)>$. Però il risultato è errato.
Mi sono accorto che essendo [tex]U=\{(a;-a;b;-b)|a;b\in\mathbb{R}\}[/tex] allora la sua proiezione lungo [tex]W[/tex] è[tex]\{(0;-a;b;0)|a;b\in\mathbb{R}\}[/tex] dato che la base canonica la si utilizza implicitamente per generare U e W.
Scusa, ho sbagliato a scrivere. Mi riferivo alla proiezione su W lungo U.
Ripeti il ragionamento da me esposto ma al contrario 
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