Prodotto vettore colonna per matrice

[mpulcina]

Ciao ragazzi, ho tale vettore colonna $ b= $ $ ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ e devo moltiplicarlo per la seguente matrice $ A= $ $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ) ) $, ma non riesco proprio a farlo...Datemi una mano, per piacere...

[DavideGenova1]

È sicuramente solo perché non hai ancora chiaro che cos'è il prodotto righe per colonne. Ogni $j$-esima componente di \(\boldsymbol b\) si moltiplica per il $j$-esimo elemento su ogni $i$-esima riga di $A$ e, sommati tutti i prodotti così ottenuti hai l'$i$-esima riga del vettore prodotto \(A\boldsymbol b\), cioè, con $A$ matrice 3×3, hai :\[\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{1}+a_{12}b_{2}+a_{13}b_{3}\\a_{21}b_{1}+a_{22}b_{2}+a_{23}b_{3}\\a_{31}b_{1}+a_{32}b_{2}+a_{33}b_{3}\end{pmatrix}\]
Nel tuo specifico caso, vedi che \(A\boldsymbol b=(2,2,1)\).
Ciao!

[mpulcina]

ma il prodotto che devo fare io è $ b*A $ e non $ A*b $ e siccome il prodotto tra matrici non è commutativo, come lo risolvo?

[Maci86]

Non si può fare il prodotto in quell'ordine

[21zuclo]

@mpulcina

il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa, ossia in generale $A\cdot B\ne B\cdot A$

esempio

$ A=( ( 2 , -1 ),( -3 , 4 ) ) $ e $ B=( ( -3 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $

se fai il prodotto (come ti hanno spiegato sopra righe per colonne) ottieni

$A\cdot B= (( 2 , -1 ),( -3 , 4 ) )\cdot (( -3 , 0 ),( 1 , 2 ) ) = (( -7 , -2 ),( 13 , 8 ) ) $

$B\cdot A=(( -3 , 0 ),( 1 , 2 ) ) \cdot (( 2 , -1 ),( -3 , 4 ) )=(( -6 , 3 ),( -4 , 7 ) )$

vedi che è $A\cdot B \ne B\cdot A$

ATTENZIONE, vi sono dei casi particolari in cui è uguale. per esempio se entrambe le matrici sono diagonali dello stesso ordine

[mpulcina]

Quindi nel mio caso è commutativo ?

[DavideGenova1]

No, perché il prodotto righe per colonne \((M,N)\mapsto MN\) è definito se e solo se la matrice $N$ ha un numero di righe uguale al numero di colonne di $M$ e la tua matrice \(\boldsymbol b\) ha una sola colonna, mentre $A$ ha tre righe.
Puoi invece calcolare \(A\boldsymbol b\). Se poi al posto di \(\boldsymbol b\) avessi una matrice con $n$ colonne \(B=(\boldsymbol{b}_1...\boldsymbol{b}_n)\) il prodotto sarebbe \(AB=(A\boldsymbol{b}_1...A\boldsymbol{b}_n)\), cioè una matrice che ha per $j$-esima colonna il prodotto \(A\boldsymbol{b}_j\).

[mpulcina]

Ma scusate, quindi il mio prodotto non si può fare?

[DavideGenova1]

No, no. \(A\boldsymbol b\), invece, si potrebbe.

[Maci86]

Puoi farlo solo se il vettore $b$ è un vettore riga