Prodotto scalare tra matrici
Ciao a tutti,
in una dimostrazione qualcosa non mi torna e per questo non sono più tanto sicuro di come si fa il prodotto scalare tra matrici (tra l'altro 3x3)
$ (2/3a( ( D11+D22+D33 , 0, 0 ),( 0 , D11+D22+D33 , 0 ),( 0 , 0 , D11+D22+D33 ) )-2a( ( D11 , D12 , D13 ),( D21 , D22 , D23 ),( D31 , D32 , D33 ) )) * ( ( D11 , D12 , D13 ),( D21 , D22 , D23 ),( D31 , D32 , D33 ) ) $
quindi le prime due matrici dentro la parentesi sono moltiplicate scalarmente per l'ultima matrice. Il risultato dev'essere uno scalare. Si deve dimostrare che lo scalare è sempre positivo...Grazie a tutti per l'aiuto
in una dimostrazione qualcosa non mi torna e per questo non sono più tanto sicuro di come si fa il prodotto scalare tra matrici (tra l'altro 3x3)
$ (2/3a( ( D11+D22+D33 , 0, 0 ),( 0 , D11+D22+D33 , 0 ),( 0 , 0 , D11+D22+D33 ) )-2a( ( D11 , D12 , D13 ),( D21 , D22 , D23 ),( D31 , D32 , D33 ) )) * ( ( D11 , D12 , D13 ),( D21 , D22 , D23 ),( D31 , D32 , D33 ) ) $
quindi le prime due matrici dentro la parentesi sono moltiplicate scalarmente per l'ultima matrice. Il risultato dev'essere uno scalare. Si deve dimostrare che lo scalare è sempre positivo...Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum.
Ti chiederei gentilmente di mettere il titolo in minuscolo (non amiamo molto il maiuscolo, equivale ad urlare sul forum): per fare ciò, è sufficiente cliccare sul pulsante "Modifica" in alto a destra sul tuo messaggio.
Quanto alla questione da te posta, secondo me è mal posta (scusa il gioco di parole). Come forse sai, le matrici $n \times n$, a entrate reali (ma potrebbero benissimo essere in $CC$), costituiscono uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) di dimensione $n^2$.
Ciò significa che una qualunque matrice si può esprimere come combinazione lineare delle $n^2$ matrici di base; se metti i coefficienti della combinazione lineare in un vettore, tale vettore che ti "rappresenta" la matrice rispetto alla base assunta. A quel punto il prodotto scalare tra matrici diventa il prodotto scalare tra vettori (una volta fissata una base, mi raccomando).
Ma non abbiamo ancora finito: occorre capire chi è il prodotto scalare. Immagino tu sappia che ogni forma bilineare definita positiva è un prodotto scalare (addirittura alcuni autori assumono prodotto scalare come sinonimo di forma bilineare).
In definitiva, mi sa che devi riformulare la tua domanda perchè così com'è posta (io almeno) non l'ho capita.
P.S. Buona permanenza nel foro.
Ti chiederei gentilmente di mettere il titolo in minuscolo (non amiamo molto il maiuscolo, equivale ad urlare sul forum): per fare ciò, è sufficiente cliccare sul pulsante "Modifica" in alto a destra sul tuo messaggio.
Quanto alla questione da te posta, secondo me è mal posta (scusa il gioco di parole). Come forse sai, le matrici $n \times n$, a entrate reali (ma potrebbero benissimo essere in $CC$), costituiscono uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) di dimensione $n^2$.
Ciò significa che una qualunque matrice si può esprimere come combinazione lineare delle $n^2$ matrici di base; se metti i coefficienti della combinazione lineare in un vettore, tale vettore che ti "rappresenta" la matrice rispetto alla base assunta. A quel punto il prodotto scalare tra matrici diventa il prodotto scalare tra vettori (una volta fissata una base, mi raccomando).
Ma non abbiamo ancora finito: occorre capire chi è il prodotto scalare. Immagino tu sappia che ogni forma bilineare definita positiva è un prodotto scalare (addirittura alcuni autori assumono prodotto scalare come sinonimo di forma bilineare).
In definitiva, mi sa che devi riformulare la tua domanda perchè così com'è posta (io almeno) non l'ho capita.
P.S. Buona permanenza nel foro.
Intanto grazie per il benvenuto e per avermi risposto; spero di poter dare anche io il mio contributo in futuro partecipando attivamente all'interno del forum.
Quanto ho chiesto si trova nelle seguenti dispense:
http://www.mondovi.polito.it/ebook/doc/ ... nAmbWP.pdf
nell'ultima espressione di pag. 71 si introduce lo scalare D (come detto nella riga successiva) come -(Pjk)dis*Dkj
dove (Pjk)dis=all'espressione 1.25 di pag. 48 fatta eccezione per il termine P
a circa metà pag. 72 dice poi "Lo scalare D si chiama funzione di dissipazione...quantità sempre positiva"
Sembra complicato forse porre così il quesito ma penso sia meglio.
Grazie di nuovo
Quanto ho chiesto si trova nelle seguenti dispense:
http://www.mondovi.polito.it/ebook/doc/ ... nAmbWP.pdf
nell'ultima espressione di pag. 71 si introduce lo scalare D (come detto nella riga successiva) come -(Pjk)dis*Dkj
dove (Pjk)dis=all'espressione 1.25 di pag. 48 fatta eccezione per il termine P
a circa metà pag. 72 dice poi "Lo scalare D si chiama funzione di dissipazione...quantità sempre positiva"
Sembra complicato forse porre così il quesito ma penso sia meglio.
Grazie di nuovo
Uhm, interessante.
Guarda io non me ne intendo di fluidodinamica ambientale, per cui non sono in grado di interpretare perfettamente quelle espressioni.
Però potremmo provare a fare una cosa: mettiamoci nel caso più easy possibile.
Indico con $RR^(3,3)$ lo spazio delle matrici 3x3 a coefficienti reali. Esso ha dimensione 9 e una sua base [tex]\mathcal{B}[/tex] è composta da $( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$ (è la base canonica).
In questo modo, la matrice $( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ),( 7 ,8 , 9 ) )$ ha componenti $(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$. Ok fin qui?
Inoltre, prendiamo il prodotto scalare standard: $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9) * (y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7, y_8, y_9) = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4 + x_5y_5 + x_6y_6 + x_7y_7 + x_8y_8 + x_9y_9 $ (avrei dovuto essere un po' più rigoroso ma non importa, ho semplificato un po').
Con queste informazioni, adesso sei capace a calcolare il prodotto scalare di due matrici qualsiasi? Prova e poi facci sapere.
Ah, ancora una cosa: così facendo non penso si possa mostrare in nessun modo che lo scalare che ottieni è sempre positivo (anche perchè è falso). Quindi non so che dire riguardo a quel punto.
Guarda io non me ne intendo di fluidodinamica ambientale, per cui non sono in grado di interpretare perfettamente quelle espressioni.
Però potremmo provare a fare una cosa: mettiamoci nel caso più easy possibile.
Indico con $RR^(3,3)$ lo spazio delle matrici 3x3 a coefficienti reali. Esso ha dimensione 9 e una sua base [tex]\mathcal{B}[/tex] è composta da $( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$ (è la base canonica).
In questo modo, la matrice $( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ),( 7 ,8 , 9 ) )$ ha componenti $(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$. Ok fin qui?
Inoltre, prendiamo il prodotto scalare standard: $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9) * (y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7, y_8, y_9) = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4 + x_5y_5 + x_6y_6 + x_7y_7 + x_8y_8 + x_9y_9 $ (avrei dovuto essere un po' più rigoroso ma non importa, ho semplificato un po').
Con queste informazioni, adesso sei capace a calcolare il prodotto scalare di due matrici qualsiasi? Prova e poi facci sapere.
Ah, ancora una cosa: così facendo non penso si possa mostrare in nessun modo che lo scalare che ottieni è sempre positivo (anche perchè è falso). Quindi non so che dire riguardo a quel punto.
Si, mi sembra vada bene quel che dici ma è proprio quello che pensavo io. Ti faccio vedere i passaggi che faccio per dimostrare la positività di D.
Spero di essere stato molto chiaro. E' tutto scritto qui:
http://www.zshare.net/download/80385492dd351719/[/img]
Spero di essere stato molto chiaro. E' tutto scritto qui:
http://www.zshare.net/download/80385492dd351719/[/img]
Mmm, non ho capito benissimo.
$delta_(j,k)$ è l'identità (immagino tu usi la $delta$ per il simbolo di Kronecker); poi non ho capito chi sono $D_(kk)$ e $mu$ (più che altro il loro segno): sono entrambi fissati positivi?
Comunque, ripeto, mi sembra tutto un po' strano... sarà che sono ignorante in materia (non so praticamente nulla di fluidodinamica) però un prodotto scalare che fornisce un risultato solo positivo... per carità, può benissimo essere, però... boh.
$delta_(j,k)$ è l'identità (immagino tu usi la $delta$ per il simbolo di Kronecker); poi non ho capito chi sono $D_(kk)$ e $mu$ (più che altro il loro segno): sono entrambi fissati positivi?
Comunque, ripeto, mi sembra tutto un po' strano... sarà che sono ignorante in materia (non so praticamente nulla di fluidodinamica) però un prodotto scalare che fornisce un risultato solo positivo... per carità, può benissimo essere, però... boh.
"Paolo90":Eh si Paolo, come tu hai capito benissimo un prodotto scalare non può mai assumere valori solo positivi. Infatti, a parte il prodotto scalare demenziale $\langle v, w \rangle -=0$, ogni prodotto scalare assume tutti i valori reali. Secondo me l'autore della dispensa parla di "prodotto scalare" semplicemente per ricordare che in quel prodotto è sottointesa la somma sull'indice $k$. Però è solo la mia opinione, qui ci sono in agguato nozioni di algebra tensoriale for engineers che conosco pochissimo.
un prodotto scalare che fornisce un risultato solo positivo... per carità, può benissimo essere, però... boh.
Nonostante questo, consiglio il libro Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers di Mikhail Itskov che ho iniziato a leggere trovandolo molto chiaro.
P.S.: Per favore, s167037, le prossime volte scrivi sul forum usando il compilatore delle formule (clic), invece di obbligarci a scaricare pagine scritte a mano. E' più comodo per tutti e aumenta la visibilità dei tuoi post.
"dissonance":Eh si Paolo, come tu hai capito benissimo un prodotto scalare non può mai assumere valori solo positivi. Infatti, a parte il prodotto scalare demenziale $\langle v, w \rangle -=0$, ogni prodotto scalare assume tutti i valori reali. Secondo me l'autore della dispensa parla di "prodotto scalare" semplicemente per ricordare che in quel prodotto è sottointesa la somma sull'indice $k$. Però è solo la mia opinione, qui ci sono in agguato nozioni di algebra tensoriale for engineers che conosco pochissimo.
[quote="Paolo90"]un prodotto scalare che fornisce un risultato solo positivo... per carità, può benissimo essere, però... boh.
Nonostante questo, consiglio il libro Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers di Mikhail Itskov che ho iniziato a leggere trovandolo molto chiaro.
[/quote]
Ah, ecco, allora non mi sono rintronato di colpo
Grazie dissonance per le tue fondamentali precisazioni.
Se ci pensi è una proprietà di tutte le forme lineari: o sono nulle oppure sono surgettive. Quando nel prodotto scalare fissi un argomento ottieni una forma lineare, e se il prodotto non è quello demenziale almeno una di queste non è nulla. Quindi il prodotto scalare è surgettivo. Vale pure per prodotti scalari complessi e, ora che ci penso, direi che vale per tutte le forme bilineari e per qualsiasi campo di scalari: o la forma bilineare è nulla oppure è surgettiva. Se hai tempo e voglia, potresti controllare quest'ultima affermazione?
"dissonance":
Se ci pensi è una proprietà di tutte le forme lineari: o sono nulle oppure sono surgettive. Quando nel prodotto scalare fissi un argomento ottieni una forma lineare, e se il prodotto non è quello demenziale almeno una di queste non è nulla. Quindi il prodotto scalare è surgettivo. Vale pure per prodotti scalari complessi e, ora che ci penso, direi che vale per tutte le forme bilineari e per qualsiasi campo di scalari: o la forma bilineare è nulla oppure è surgettiva. Se hai tempo e voglia, potresti controllare quest'ultima affermazione?
Con molto piacere (ho sempre paura di essere arrugginito con l'estate, anche se ho sempre studiato
)Comunque, io direi che è vero quanto dici. E la dimostrazione è a grandi linee quella di cui parli tu. In effetti, consideriamo una forma bilineare non nulla $phi: V times V to RR$ con $V$ di dimensione $n$ e con $phi: (\barx,\bary) \mapsto phi(\barx,\bary)$. Se fisso un argomento (sia esso $x$) ho una forma lineare $f_x: V to RR$ che è associata a una matrice (fissate due basi in $V$ e in $RR$) $1 times n$.
La dimensione dell'immagine è il rango di questa matrice, dunque o 0 o 1. E' zero sse ho la forma lineare nulla; è 1 altrimenti; d'altra parte, però, $RR$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 1 quindi abbiamo che $"im"f_x=RR$.
Si conclude dicendo (l'hai già fatto tu comunque) che, essendo la forma bilineare non nulla, fissando uno dei due argomenti, almeno una delle due forme lineari è non nulla.
P.S. C'è solo da sistemare una cosetta, ora che ci penso, a proposito del campo degli scalari: se siamo in $CC$ la cosa puzza... $CC$ non ha dimensione 2 su $RR$? Però come sono definite le forme lineari su $CC$? Devo pensarci...
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