Prodotto scalare standard
Ciao a tutti! Sto studiando il prodotto scalare standard e gli spazi vettoriali euclidei, ma non riesco a capire una cosa. Nelle dispense ci sono degli esercizi svolti e uno di questo consiste nel verificare che
$ u1= (( 1 , 1 , 1 , 1 )) $ $ u2= ( ( -3 , 1 , 1 , 1 ) ) $ $ u3= ( ( 0 , 1 , 1 , -2 ) ) $
sono a due a due ortogonali.
So che due vettori x e y sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard quando x * y $ x * y = pm || x || * || y || $
Però a questo punto mi viene da pensare di non aver capito come si fa il prodotto scalare standard perché la soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ u1 * u2 = (( 1 , 1 , 1 , 1 )) ( ( -3 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) =0 $
$ u1 * u3 = (( 1 , 1 , 1 , 1 )) ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) =0 $
$ u2 * u3 = (( -3 , 1 , 1 , 1 )) ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) =0 $
Ma come fanno a venire uguali a zero? Per favore, potete spiegarmi come funziona il procedimento di calcolo?
$ u1= (( 1 , 1 , 1 , 1 )) $ $ u2= ( ( -3 , 1 , 1 , 1 ) ) $ $ u3= ( ( 0 , 1 , 1 , -2 ) ) $
sono a due a due ortogonali.
So che due vettori x e y sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard quando x * y $ x * y = pm || x || * || y || $
Però a questo punto mi viene da pensare di non aver capito come si fa il prodotto scalare standard perché la soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ u1 * u2 = (( 1 , 1 , 1 , 1 )) ( ( -3 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) =0 $
$ u1 * u3 = (( 1 , 1 , 1 , 1 )) ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) =0 $
$ u2 * u3 = (( -3 , 1 , 1 , 1 )) ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) =0 $
Ma come fanno a venire uguali a zero? Per favore, potete spiegarmi come funziona il procedimento di calcolo?
Risposte
devi semplicemente utilizzare il prodotto scalare canonico (o standard); due vettori sono ortogonali quando $x*y=0$.
moltiplica membro a membro i due vettori e somma tutto, vedrai da solo che viene 0
moltiplica membro a membro i due vettori e somma tutto, vedrai da solo che viene 0
Ciao,
considerata la base standard (o canonica) di $R^4$, allora il prodotto scalare tra due vettori
$(a_1,a_2,a_3,a_4)$ e $(b_1,b_2,b_3,b_4)$ vale
$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4$
Cioè la somma dei prodotti delle prime due componenti, le seconde due componenti.. fino alla fine.
Quindi nel tuo caso il p. scalare è
$1*(-3)+1*1+1*1+1*1=-3+1+1+1=0$
Prova ora con gli altri casi.
considerata la base standard (o canonica) di $R^4$, allora il prodotto scalare tra due vettori
$(a_1,a_2,a_3,a_4)$ e $(b_1,b_2,b_3,b_4)$ vale
$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4$
Cioè la somma dei prodotti delle prime due componenti, le seconde due componenti.. fino alla fine.
Quindi nel tuo caso il p. scalare è
$1*(-3)+1*1+1*1+1*1=-3+1+1+1=0$
Prova ora con gli altri casi.
Massì, è vero. Santo cielo, era banale. Grazie mille, chiedo scusa per la stupidità!
nulla
Chiedo ancora una cosetta. Un esercizio dice "In $ R^3 $ si consideri il prodotto scalare $ x * y $, con x e y appartenenti a $ R^3 $ , rispetto
al quale la base $ B = ((1; 1; 1); (0; 2; 1); (0; 0; 1)) $ risulta ortonormale."
Poi devo constatare che due vettori sono ortogonali rispetto a questo prodotto scalare. Ma quello che non capisco è il testo vero e proprio. Cosa significa? Io credo di dover trovare una regola per cui il prodotto a due a due di quei vettori sia 0 e la norma 1. Ma come faccio
al quale la base $ B = ((1; 1; 1); (0; 2; 1); (0; 0; 1)) $ risulta ortonormale."
Poi devo constatare che due vettori sono ortogonali rispetto a questo prodotto scalare. Ma quello che non capisco è il testo vero e proprio. Cosa significa? Io credo di dover trovare una regola per cui il prodotto a due a due di quei vettori sia 0 e la norma 1. Ma come faccio
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